Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Os lucros diários de determinado comerciante com a venda de um de seus produtos podem ser considerados variáveis aleatórias independentes. Suponha que o valor médio e o desvio padrão dos lucros diários sejam de respectivamente μ = R $ 60,00 e σ = 6,40 . Usando a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite, calcule:

(a) A probabilidade do lucro trimestral   (90 dias) ser superior a R $ 5500 , 00 .

(b) O lucro semestral (180 dias) máximo a ser garantido com 98 %   de chance.

(c) Qual o número mínimo de dias necessários para garantir um lucro de pelo menos R $ 5000 ,00 com 95 % de chance.

Passo 1

a)

Vamos usar uma v.a. para representar o lucro diário do comerciante:

X : l u c r o   p o r   d i a

E nós temos vários dias, então temos vários lucros diários...

X 1 , X 2 , X 3 …

Sabemos que:

μ X = 60   e   σ X = 6,40

Mas a alternativa tá perguntando sobre o lucro trimestral, vamos criar uma v.a. para representá-lo:

Y : l u c r o   t r i m e s t r a l

A princípio não conhecemos nada sobre Y , mas um trimestre é um conjunto de 90 dias, e nós temos a v.a. do lucro por dia! Então podemos escrever Y em função dela:

Y = X 1 + X 2 + X 3 … X 90

Já que o lucro do trimestre vai ser a soma dos lucros diários dos 90 dias!

E qual vai ser a distribuição e os parâmetros de Y ? Pega a dica da questão, pequeno garfanhoto! Ele diz pra gente usar a aproximação por TCL. E nós podemos fazer isso porque os X ’s são independentes e seguem a mesma distribuição.

Mas como funfa essa aproximação mesmo? Segundo ela podemos dizer que Y vai seguir aproximadamente uma distribuição normal:

Y ~ N o r m a l ( n μ X , n σ X 2 )

Onde n = 90 , μ X = 60   e   σ X = 6,40 . Então:

Y ~ N o r m a l ( 90 × 60   ;   90 × 6,4 2 )

Passo 2

Agora podemos calcular o que foi pedido:

P ( Y > 5500 )

Padronizando isso aí (pois estamos numa distribuição normal)...

P Y > 5500 = P Z > 5500 - 90 × 60 90 × 6,4 = P Z > 1,65

Para podermos procurar o valor da normal padronizada na tabela, queremos um sinal de < dentro do parênteses, então vamos trabalhar com a complementar:

P Z > 1,65 = 1 - P Z < 1,65 = 1 - ϕ 1,65

Agora procuramos a probabilidade vinculada ao 1,6 na primeira coluna da tabela com o 0,05 na primeira linha:

ϕ 1,65 = 0,9505

Agora sutraímos isso aí do 1 ali em cima e...

P Y > 5500 = 1 - 0,9505

P Y > 5500 = 0,0495

Passo 3

b)

Agora nossa v.a. é para o lucro semestral, vamos seguir o mesmo raciocínio. Vamos representa-la por M :

M = X 1 + X 2 + X 3 … X 180

Já que o lucro do trimestre vai ser a soma dos lucros diários dos 180 dias!

Pelo TCL de novo, vamos aproximar M a uma normal, só que agora n = 180 :

M ~ N o r m a l ( n μ X , n σ X 2 )

M ~ N o r m a l ( 180 × 60   ;   180 × 6,4 2 )

Agora queremos o contrário, foi dado o valor da probabilidade e queremos descobrir o valor dentro dos parênteses. Como queremos saber o lucro máximo possível, temos que descobrir o maior valor de M , então vamos limitá-lo superiormente:

P M < m

Concorda comigo que assim o M tem um valor máximo? Por que dessa forma ele não pode valer nada maior que m , então m é seu máximo!

Nós sabemos que essa probabilidade é igual a:

P M < m = 0,98

Padronizando isso aí (porque, de novo, segue uma normal)...

P M < m = P Z < m - 180 × 60 180 × 6,4 = 0,98

= P Z < m - 10800 85,865 = 0,98

ϕ m - 10800 85,865 = 0,98

Agora vamos ter que ir lááá na tabela da normal e procurar o z associado à probabilidade no corpo da tabela que vale aproximadamente 0,98 e igualá-lo ao que temos dentro do ϕ .

Lá no meio da tabela vamos achar um z que vale 0,9798 , que é praticamente 0,98 . Então vamos usar a probabilidade associada a ele:

z 0,9798 = 2,05

E agora igualamos ele a nossa estatística:

2,05 = m - 10800 85,865 → m = 10976,02

Passo 4

c)

Agora o raciocínio é muito parecido, a diferença é que não vamos saber o número de dias, ou seja, nosso n é desconhecido! Vamos criar uma v.a. que represente o lucro dos n dias:

N : l u c r o   d o s   n   d i a s

Ela vai ser a soma de n lucros diários, certo? Então:

N = X 1 + X 2 + X 3 … X n

E pelo TCL vamos ter que:

N ~ N o r m a l ( n μ X , n σ X 2 )

N ~ N o r m a l ( n 60   ;   n 6,4 2 )

Temos que garantir um lucro de pelo menos R $ 5000,00 com 95 % de chance, então a probabilidade que vamos trabalhar fica:

P N > 5000 = 0,95

Padrozinando isso aí, já que segue uma normal…

P N > 5000 = P N > 5000 - n 60 6,4 n = 0,95

Mas precisamos estar com o sinal < dentro do parênteses pra poder usar a tabela. Vamos fazer aquele paranauê então de inverter o sinal e multiplicar o que tá lá dentro por - 1 :

P N < - 5000 + n 60 6,4 n = 0,95

r a i z n 6,4 * 1,64 = n 60 - 5000 → - 10,464 * r a i z N + n 60 - 5000

Agora procuramos o z que valha 0,95 , ou perto disso, no corpo da tabela...

z 0,9495 = 1,64

E igualamos isso aí a nossa estatística:

1,64 = - 5000 + n 60 6,4 n

1,64 × 6,4 n - 60 n + 5000 = 0

10,496 n - 60 n + 5000 = 0

Agora vamos resolver essa equaçãozinha aí. Podemos usar o seguinte artifício pra isso, uma substituiçãozinha pra gente se livrar da raíz:

n = w ²

E se n é isso, n vai ser...

n = w

Agora nossa equação é:

- 60 w 2 + 10,496 w + 5000 = 0

Resolvendo isso aí por Bhaskara:

w = - 10,496 ∓ 10,496 2 - 4 ( - 60 ) ( 5000 ) 2 ( - 60 ) = 9,217   o u - 9,042

Como w = n , não vamos contar o resultado negativo. Então:

w = n = 9,217 → n = 84,953

Se nosso número de dias está passando de 84 , arredondamos para o próximos número de dias possíveis, ou seja...

n = 85

Isso quer dizer que a probabilidade do lucro de 85 dias ser maior que R $ 5000,00 é de 95 % !

Resposta

a)

0,0495

b)

R $ 10 . 976,02

c)

85   d i a s

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