Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Dizemos que a média de uma característica de interesse de um processo em uma linha de produção está “em controle” se a média aritmética de n medições desta característica cai entre os limites inferior e superior pré-estabelecidos pelo fabricante. Caso contrário dizemos que está “fora de controle". Desejamos estudar o processo de produção de filamentos de lâmpadas em uma linha de produção através de suas espessuras. Suponha que as espessuras na linha de produção possuam uma média de 148 mícrons e desvio-padrão de 15 mícrons. Foi obtida uma amostra com 25 medições dessas espessuras, e admita que os limites inferior e superior de controle são iguais a, respectivamente, 142 e 156 mícrons.

(a) Qual a probabilidade do processo estar fora de controle? Que suposições foram utilizadas?

(b) Se a probabilidade do processo estar em controle fosse igual a 0, 95, quais seriam os novos limites superior e inferior de controle supondo que são simétricos em torno da média do processo?

Observação: Admita que n=25 pode ser considerado suficientemente grande para que se possa usar o Teorema Central do Limite.

Passo 1

(a) Vamos chamar a média aritmética de   X . ̄ Precisamos calcular a probabilidade de:

X ̄ < 142         o u           X ̄   > 156 .

Que é dada pela soma das probabilidades P ( X ̄ < 142 )     +       P ( X ̄   > 156 )

Passo 2

Note que a gente não sabe a distribuição exata de X ̄ , mas a observação do enunciado pede pra gente usar o Teorema Central do Limite, que diz que a média aritmética segue aproximadamente uma distribuição normal (desde que as medições feitas sejam independentes entre si:

X ̄ ∼ N ( μ ,   σ 2 n )

Onde μ é a média que já tínhamos: μ =   148 , e nossa variância muda! Agora ela é dada por σ 2 n = 1 5 2 25 = 9 .

Passo 3

Usando o Teorema Central do Limite, podemos calcular as probabilidades da mesma forma que fazemos para a distribuição normal: transformamos o que temos em normal-padrão e usamos a tabela! Só temos que ficar ligados que agora o nosso desvio-padrão mudou, agora temos que usar σ n =   15 5 = 3 . Assim:

P ( X ̄ < 142 )   =   P ( X ̄ - 148 3 < 142 - 148 3 )   =   P ( Z < - 2 ) = 0,0228 (pela tabela da normal-padrão)

P ( X ̄ > 156 )   =   P ( X ̄ - 148 3 > 156 - 148 3 )   =   P ( Z > 2,67 ) = 0,0038 (também pela tabela)

Passo 4

Agora bastar somar essas probabilidades para achar o que queríamos:

P ( p r o c e s s o   e s t a r   f o r a   d e   c o n t r o l e )   =   0,0228   +   0,0038 = 0,0266

Passo 5

(b) Queremos achar um limite superior L S e um limite inferior L I de modo que

P ( L I   < X ̄ < L S )   =   0.95 .

Como é dado que eles são simétricos em relação à média, podemos escrever

L I   =   148   -   d

L S   =   148   +   d

Passo 6

Agora vamos de novo transformar em normal-padrão:

P ( 148 - d < X ̄ < 148 + d )   =   P ( 148   - d   - 148 3 < X ̄ - 148 3 < 148 + d - 148 3 )   =   P ( - d 3 < Z < d 3 ) =0,95

Passo 7

Agora é só procurar na tabela por um cara que dê probabilidade de 0,95:

P ( - 1,96 < Z < 1,96 )   =   0,95 .

Assim, d 3 = 1,96   → d   =   5,88

Passo 8

Substituindo agora para achar L I e L S :

L I   =   148   -   5,88 = 142,12 mícrons

L S   =   148 + 5,88   =   153,88 mícrons

Resposta

(a) 0,0266

(b) L I = 142,12 mícrons

L S   =   153,88 mícrons

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