Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Seja X   uma variável aleatória discreta distribuida conforme a distribuição de Poisson. Seja X n a variável aleatória binomial usada na "aproximação da Poisson pela Binomial". Nesse contexto, considere as seguintes afirmações.

a) lim n → ∞ ⁡   X - X n = 0 .

b) ∀   ϵ   >   0 ,   lim n → ∞ ⁡ P X - X n > ϵ   =   0

c) lim n → ∞ ⁡ E X n   =   E X .

Quais alternativas são corretas?

Passo 1

Fala pessoal, vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez uma questão teórica.

Bem Nessa questão estaremos trabalhando com a "aproximação da Poisson pela Binomial", vocês lembram como é essa aproximação? Não? E nem precisamos, só precisamos saber que essa aproximação se dá em forma de distribuição. Isto é, a função de probabilidade de X n converge para a de X .  

Queremos verificar quais das alternativas estão corretas.

Passo 2

Vamos começar verificando a letra b). Essa definição é familiar, não acham?

Vamos olhar ela de novo

∀   ϵ   >   0 ,   lim n → ∞ ⁡ P X - X n > ϵ   =   0

Mas é claro que é familiar. Essa é a definição de convergência em probabilidade!!!

Mas como comentado no passo anterior, sabemos que X n converge em distribuição. Como convergência em distribuição não implica convergência em probabilidade, temos que essa afirmação é falsa.

Passo 3

Agora vamos verificar a letra c). O que ela diz?

lim n → ∞ ⁡ E X n   =   E X

Será que isso é verdade? Vamos analisar. Por definição temos que

E X n   =   ∑ i = 0 n i P X n   =   i

Aplicando o limite temos

lim n → ∞ ⁡ E X n   = lim n → ∞ ⁡   ∑ i = 0 n i P X n   =   i

Pela linearidade do limite

= ∑ i = 0 ∞ lim n → ∞ ⁡   i P X n   =   i

Como X n converge em distribuição para X , então, pela definição de convergência em distribuição, que P X n   =   i   converge para P X   =   i   . Logo

∑ i = 0 ∞ lim n → ∞ ⁡   i P X n   =   i = ∑ i = 0 ∞   i P X   =   i

Então temos que letra c) está certa

Passo 4

Por fim, precisamos verificar a letra a) que diz que lim n → ∞ ⁡   X - X n = 0 .

Ora, mas já vimos que a letra b) é falsa, ou seja, que quando n → ∞     a probabilidade de   X - X n > 0 é positiva, então existe um conjunto de valores com probabilidade positiva onde

lim n → ∞ ⁡   X - X n > 0 .

Logo essa afirmação é falsa

E com isso terminamos mais uma questão de probabilidade.

Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!1

Resposta

c)

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