Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

UFRJ-P1-2014.1-4

Um pequeno restaurante tem uma receita diária - da qual já foi descontado o gasto com ingredientes - cuja média é de 800 reais e cujo desvio padrão é de 300 reais. A despesa mensal do restaurante com mão de obra, encargos, manutenção, etc., é da ordem de 12.000 reais.

  1. Se ele funciona na base de 25 dias por mês, qual a probabilidade de que esse negócio dê um lucro de pelo menos 7.000 reais por mês?
  2. Digamos que, em um determinado mês, o restaurante só vai ficar aberto durante 20 dias. Mas, ainda assim, deseja-se manter a meta de um lucro mínimo de 7.000 reais. Para quanto deveria aumentar a média da receita diária para que nesse mês, uma vez mantido o desvio padrão da receita diária em 300 reais, essa meta fosse atingida com probabilidade 95%?

Obs.: Admita que em ambos os casos o tamanho amostral é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

X : r e c e i t a   d i á r i a

L : l u c r o   m e n s a l

A gente quer calcular P L > 7000 .

De acordo com o enunciado.

L = ∑ i = 1 25 X i - 12.000

Já que são 25 dias de funcionamento e que as despesas fixas somam 12.000.

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Passo 2

Se a gente quer P L > 7000 , é o mesmo que querer.

P ∑ i = 1 25 X i - 12.000 > 7000

P ( ∑ i = 1 25 X i > 19000 )

Só que de acordo com o teorema central do limite, quando a gente tem um somatório de um número grande de v.a. com mesma distribuição podemos aproximar por uma Normal.

Com isso.

∑ i = 1 25 X i ≈ N o r m a l 25 μ , 25 σ 2

Onde:

μ = E X i = 800

σ = D P X i = 300

Passo 3

Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.

P L > 7000 = P ∑ i = 1 25 X i - 25 × 800 25 × 300 2 > 19000 - 25 × 800 25 × 300 2

= P Z > 19000 - 20000 1500

= P Z > - 0,667

= P Z < 0,667    

Procurando na tabela.

P ( L > 7000 ) = 0,7475

Passo 4

(b)

Vamos ter n = 20 dias e agora E X i = μ (valor desconhecido)

A situação é bem parecida com a anterior, tirando a mudança de n . A diferença é que agora o exercício deu o valor da prob. final e quer o valor de μ referente.

P L > 7000 = 0,95

Sendo que.

P L > 7000 = P ∑ i = 1 20 X i - 12000 > 7000

= P ( ∑ i = 1 20 X i > 19000 )

Pelo teorema central do limite aproximaremos.

∑ i = 1 20 X i ≈ N o r m a l   ( 20 μ   ,   20 × 300 )

Passo 5

Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.

P L > 7000 = P ( ∑ i = 1 20 X i > 19000 )

0,95 = P Z > 19000 - 20 μ 20 × 300 2

0,95 = P Z > 19000 - 20 μ 300 20

O valor da tabela que nos dá prob. de 0,95 é 1,64. Porém como estamos trabalhando com Z > … não podemos esquecer de multiplicar por - 1 .

Então, com isso.

19000 - 20 μ 300 20 = - 1,64

μ = 19000 + 1,64 × 300 20 20

μ = 1060,34   r e a i s

Resposta

a   0,7475

b   1060,34   r e a i s

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