Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

Ver Teoria

Enunciado

A quantidade de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período de uma hora é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ, a princípio desconhecido. Sabe-se que a probabilidade de nenhuma partícula ser emitida durante esse intervalo de tempo é de 0,00673.

(a) Em média, quantas partículas são emitidas por hora? Escreva também a expressão da função densidade de probabilidade de T , o tempo em horas entre duas emissões consecutivas.

(b) Sabendo que em 20 minutos após uma emissão nenhuma outra partícula foi emitida, qual a probabilidade de que precisamos esperar mais meia hora pela próxima emissão?

(c) Sejam X 1 ,   … ,   X 24 os números de partículas emitidas pela fonte ao longo das 24 horas de um determinado dia, e admita que as quantidades de partículas emitidas em horas distintas são independentes entre si. Qual é a probabilidade de, ao longo dessas 24 horas, observarmos a emissão de no máximo 100 partículas?

Passo 1

Vamos lembrar a fórmula da distribuição de Poisson. Se X ∼ P o i s s o n ( λ ) , então

P ( X = K )   =   e - λ λ k k ! .

Passo 2

(a) Como ele deu que P ( X = 0 )   =   0,00673 , vamos substituir na fórmula da Poisson:

P ( X = 0 )   =   e - λ λ 0 0 ! = e - λ → e - λ = 0,00673 .

Tomando l n dos dois lados:

l n ( e - λ ) = l n ( 0,00673 )   →   - λ =   - 5   → λ =   5 .  

Passo 3

Respondendo à outra pergunta do mesmo item, é importante lembrar que a variável aleatória que modela o tempo entre dois acontecimentos num experimento de Poisson é a v.a. com distribuição Exponencial. Assim, T ∼ e x p ( λ )   =   e x p ( 5 ) .

A função de densidade da exponencial é dada por f ( t )   =   λ e - λ ⋅ t ,     t   > =   0 . Como temos λ =   5 , nossa função de densidade vira f ( t )   =   5 ⋅ e - 5 ⋅ t ,     t   > =   0

Passo 4

(b) O que ele quer saber é P ( T   >   50   m i n u t o s   |   T > 20   m i n u t o s ) . Agora é muito importante lembrar que a exponencial possui a propriedade de ser sem memória, isso é:

P ( T > t 1 |   T   >   t 0 )   =   P ( T   >   t 1 - t 0 ) .

A vantagem de usar essa fórmula é que agora podemos integrar a função de densidade para achar probabilidades!

Passo 5

Vamos aplicar então essa fórmula ao nosso problema:

P ( T   >   50   m i n u t o s   |   T > 20   m i n u t o s )   =   P ( T > ( 50 - 20 )   m i n u t o s )   =   P ( T > 30   m i n u t o s )

Agora antes de usar a fórmula da exponencial, precisamos tomar só mais um cuidado!

A variável aleatória está sendo medida em horas! Assim, T = 1   → 1   h o r a .

Como queremos 30 minutos, teremos que T   =   1 2 .

Passo 6

  P ( T > 30   m i n u t o s )   =   P ( T   >   1 2 )   =   ∫ 1 2 ∞ 5 ⋅ e - 5 ⋅ t d t .

Só lembrando integrais: ∫ e - 5 ⋅ t d t   =   1 - 5 ⋅ e - 5 ⋅ t .

Agora integrando de 1 2   até :

P ( T > 1 2 )   =   0   -   ( - e 5 × 1 2 )   =   0,08 .

Passo 7

(c) Vamos chamar de Y nossa variável aleatória que conta quantas partículas foram enviadas ao longo de 24 horas. Vamos ter então que

Y   =   X 1 + … +   X 24 .

Aqui já vai uma boa dica: sempre que você tiver uma soma de variáveis aleatórias, ainda mais se for uma soma “grande” como essa, desconfia que você vai er que usar o Teorema central do Limite!

Passo 8

Nesse caso, a gente pode até descobrir a distribuição da nossa variável Y : ela é uma soma de v.a’s de Poisson independentes: o resultado também é uma Poisson com média dada pela soma das médias:

Y ∼ P o i s s o n ( 24 × 5 )   =   P o i s s o n ( 120 ) .

Agora o que queremos calcular é P ( Y > 100 ) . Repara que essa conta seria absurdamente grande! Vamos então usar o Teorema Central do Limite!

Passo 9

O Teorema Central do Limite nos diz que podemos aproximar essa variável Y por uma normal com média e variância iguais às da própria Y . Agora a gente só precisa lembrar que: se Y ∼ P o i s s o n ( λ ) , então v a r ( Y )   =   λ .

Passo 10

Então a gente pode dizer que Y ≈ N ( 120 ,   120 ) .

Agora última coisa muito importante a se lembrar: como estamos aproximando uma variável discreta por uma variável contínua, precisamos fazer a correção de continuidade!

A gente só precisa somar ou subtrair 0,5 ao valor que queremos calcular a probabilidade. Como queremos a probabilidade de ser maior que 100, vamos somar 0,5:

P ( Y < 100,5 )   =   P ( Y - 120 120 < 100,5 - 120 120 )   =   P ( Z >   - 1,78 ) .

Passo 11

Agora é só olhar na tabela da normal-padrão a probabilidade:

P ( Z >   - 1,78 ) = 0,0375 .

Resposta

(a) λ =   5

(b) 0,08

(c) 0,0375

Exercícios de Livros Relacionados

Continuação do exercício 4-44. Considere que o desvio padrão do tamanho de um ponto seja 0.0004 polegadas. Se a probabilidade de um ponto obedecer às especificações foi igual a 0.9973, que especificaç
Estabeleça a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória binomialmente distribuída (baseada em repetições de um experimento) truncada à direita de X=n; isto é, X=n não poderá ser observado
Em algumas tábuas de distribuição normal, H x = 1 2 π ∫ e - t 2 2 d t apresenta-se tabulada para valores positivos de x . Se a variável aleatória X tiver distribuição N ( 1,4 ) , exprimir cada uma das
Continuação do exercício 4-146. Refaça os itens a e B. Considere que a vida média seja uma variável aleatória lognormal, com amei mesmo a média e o mesmo desvio padrão.
A vida (em horas) de um aparelho de imagem por ressonância magnética (IRM) é modelada por uma distribuição de Weibull, com parâmetros β = 2 e δ = 500 horas.Determine a vida média de IRM.Determine a va