Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Toda manhã um engenheiro retira cem peças aleatoriamente de um novo lote produzido independentemente dos demais lotes, e verifica quantas peças tem defeito. O número de peças com defeito no dia d   é indicado por X d   . Sabe-se que a probabilidade de defeito em uma peça é 0.2   . Ao fim de um período de 100   dias, qual a probabilidade que o número total de peças com defeito seja maior ou igual a 2050   ?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão. Dessa vez uma que usa o TCL (teorema central do limite). Como de costume, vamos anotar as informações passadas no enunciado

X d   É o número de peças com defeito de um total de 100 no lote escolhido no dia d  

A probabilidade de uma peça apresentar defeito é d  

Os lotes são independentes

Queremos calcular a probabilidade que o número total de peças com defeito seja maior ou igual a 2050   . De forma matemática queremos:

P X 1   + X 2   +   …   +   X 100   ≥   2050

por questão de simplicidade, chamaremos X 1   + X 2   +   …   +   X 100   de S 100  

Passo 2

Eita ferro, queremos calcular P S 100   ≥   2050 . Como vamos fazer isso?

Calma jovem, vamos analisar com calma. Queremos calcula a probabilidade de uma SOMA de variáveis aleatórias. Será que tem algum teorema que pode nos ajudar com isso? Mas é claro que tem. Podemos usar o TCL (teorema central do limite). Lembra-se dele? Vamos revisar

O TCL diz o seguinte:

Sejam X 1 ,   … ,   X n   variáveis aleatórias i i d   então

S n - E S n V S n 1 2   ⟶     N 0,1   quando   n   ⟶   ∞

Onde S n   =   ∑ i = 1 n X i .

No nosso caso o S n   seria o nosso S 100     .

Ou seja, temos uma forma de aproximar a nossa probabilidade de interesse utilizando uma normal padrão. Mas para isso precisamos calcular E S 100   e V S 100  

Passo 3

Como falado no passo anterior, vamos usar o TCL para calcular nossa probabilidade, mas para isso precisamos encontrar E S 100   e V S 100   .

Vamos calcular E X d   para um d   qualquer.

Bem temos que nosso X d   uma variável aleatória que conta o número de pessas defeituosas dentre 100 peças no dia d   . Será que X d     tem uma distribuição conhecida?

Vamos reescrever o que X d     conta de uma forma mais familiar.

X d       uma variável aleatória que conta o número de caras entre 100 lançamentos de uma moeda no dia d       , onde a probabilidade de cara é 0.2  

Agora ficou mais fácil, né? Pois a variável que conta o número de caras em 100 lançamentos é uma binomial, logo

X d   ∼ B i n 100 ,   0.2

E é um resultado conhecido que a esperança de uma b i n o m i a l n , p é dada por n p   e sua variância por n p 1 - p

Então

E X d   =   100 ⋅ 0.2

= 20  

V X d   =   100 ⋅ 0.2 ⋅ 1 - 0.2

= 16  

Passo 4

Ainda não acabamos, pois precisamos da E S 100   e V S 100   para usar o TCL.

Mas essas podem ser calculadas usando os resultados do passo anterior. 😊

E S 100     =   E X 1   +   …   +   X 100

(pela linearidade)

  E X 1   +   …   +   X 100   =   ∑ i = 1 100 E X i

(no passo anterior vimos que cada Xd é uma binomial, e calculamos essa esperança)

=   100 ⋅ E X i

=   100 ⋅ 20  

=   2000  

E para agora a variância

V S 100     =   V X 1   +   …   +   X 100

(pela independência dos lotes)

  V X 1   +   …   +   X 100   =   ∑ i = 1 100 V X i

=   100 ⋅ 16    

⇒   V S 100 1 2   =   40

Passo 5

Finalmente temos tudo que precisamos para usar o TCL.

Queremos calcular P X 1   + X 2   +   …   +   X 100   ≥   2050

P X 1   + X 2   +   …   +   X 100   ≥   2050 = P S 100   ≥   2050

(Subtraindo a média)

= P S 100   - 2000   ≥   2050   -   2000

(dividido pelo desvio padrão)

= P S 100   - 2000 40   ≥   2050   -   2000 40

= P Z   ≥   50 40

= P Z   ≥   5 4

Onde Z ∼ N 0,1 pelo TCL

Usando a tabela-z (tabela contendo as probabilidades da distribuição normal) obtemos que

P Z   ≥   5 4   =   0.106

Finalmente acabamos!!!!!

As questões que envolvem o TCL são grandinhas, mas quase todas são resolvidas da mesma forma que essa questão. Espero que os passos tenham ficado claro. Bons estudos e até a próxima pessoal!!!

Resposta

  0.106  

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