Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Um estudo de uma escola particular de ensino médio constatou que as pontuações de seus alunos na prova de “Linguagem, códigos e suas tecnologias” do Enem são normalmente distribuídas com uma média de 529   e uma variância de 4268   . As pontuações de seus alunos na prova “Matemática e suas tecnologias” são normalmente distribuídas com uma média de 479   e uma variância de 5732   . Dois alunos dessa escola foram selecionados aleatoriamente. Considere que X   é uma variável aleatória que indica a pontuação na prova de Linguagem do primeiro aluno e Y   a pontuação da prova de Matemática do segundo aluno. Suponha que X   e   Y são independentes. A probabilidade P X > Y vale:

Passo 1

Fala galerinha. Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Temos que:

X   é a nota de linguagem do primeiro aluno, e X ∼ N 529,4268

Y     É a nota de matemática do segundo alunoo, e Y ∼ N 479,5732  

Queremos Calcular P X   >   Y

Passo 2

Pessoal, queremos calcular P X   >   Y , mas

P X   >   Y   =   P X   - Y > 0 .

Mas será que sabemos a distribuição de X - Y ?   Como X   e   Y são ambas normais sabe-se que X - Y   também será normal (combinação linear de distribuições normal é normal). Mas qual será sua média e variância?

Passo 3

No passo anterior, vimos que P X   >   Y   =   P X   - Y > 0 e que X - Y   ∼ N μ , σ 2 , mas não sabemos quem são μ   e   σ 2 . Vamos calculá-los.

Da definição da distribuição Normal sabemos que:

E X - Y   =   μ

⇒     μ   =   E X - E Y  

⇒     μ   =   529   -   479  

⇒     μ   =   50  

Além disso, sabemos também da definição da distribuição Normal que:

V X - Y   =   σ 2

⇒     σ 2   =   V X + V - Y   (por independência entre X   e   Y   )

⇒     σ 2   =   V X + V Y  

⇒     σ 2   =   4268 + 5732  

⇒     σ 2   =   10000

Passo 4

Agora que obtemos os parâmetros da distribuição de X - Y   podemos calcular P X   >   Y   =   P X   - Y > 0 .

Seja D   = X - Y     então:

P X   >   Y   =   P X   - Y > 0

=   P D > 0

=   P D - E D >   - E D

=   P D - E D V D 1 2 >   - E D V D 1 2

Sabemos que D   é uma distribuição Normal, então D - E D V D 1 2   ∼ N 0,1

Dessa forma, calcular P X   >   Y   será equivalente a calcular

P Z >   - E D V D 1 2   =   P Z >   - 50 100

= 0,6915  

Resposta

0,6915  

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