Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

O tempo de vida de uma lâmpada tem distribuição normal com esperança desconhecida μ , e um desvio padrão σ de 200   horas. O valor real de um lote de 1000   lampadas e de 1000 ⋅ 1 / 5000 ⋅ μ reais, ou seja, o valor real é μ 5 reais. Um possível comprador retira uma amostra de n   lampadas e compra o lote por 1000 ⋅ 1 / 5000 ⋅ x ¯ reais, onde x ¯ e a média aritmética das vidas das lâmpadas da amostra. Ou seja, o comprador paga x ¯ 5 reais pelo lote. Qual o menor tamanho da amostra para que haja uma probabilidade de pelo menos 0.95   do comprador não pagar 20   reais nem a mais nem a menos do valor real?

Passo 1

Fala galera!!! Tudo Beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos anotar as informações passadas no enunciado.

  • Tempo de vida T   ∼ N μ , 200 2
  • Valor REAL de cada lote é μ 5
  • O comprador paga x ¯ 5
  • x ¯   =   1 n ∑ i = 1 n X i

Queremos saber qual menor número de amostras para que o comprador não pague 20   reais a mais ou amenos pelo lote com probabilidade. Ou seja, se M   é o preço pago pelo comprador, queremos n   tal que P μ 5   - 20   ≤ M ≤ μ 5   + 20   =   P μ 5   - 20   ≤ x ¯ 5 ≤ μ 5   + 20   seja, pelo menos, 0.95  

Passo 2

Fala pessoal, esta questão quer que calculemos a probabilidade de uma variável aleatória M   pertencer ao intervalo μ 5   - 20   , μ 5   + 20 . Para isso iremos usar o T C L   (Teorema central do limite, ou Teorema do limite Central)

O T C L   nos diz que se X 1 , … , X n são iid então:

S n - E S n V S n 1 2   ⟶     N 0,1   quando   n   ⟶   ∞

Onde S n   =   ∑ i = 1 n X i .

Essa é uma convergência em distribuição.

Passo 3

Agora vamos calcular E x ¯ ,   e   V x ¯ .

  E x ¯   =   E X 1   + …   +   X n n   onde X i é o tempo de vida da lampada i  

⇒     E X 1   + …   +   X n n     =   ∑ i = 1 n E X i n

(pela linearidade da esperança)

⇒     ∑ i = 1 n E X i n   =   n E X i n

(pois os tempos de vida são iid)

⇒     E x ¯   =   E X i

( X i ∼ N μ , 200 2 )

=   μ

Agora podemos calcular V x ¯

⇒     V X 1   + …   +   X n n     =   ∑ i = 1 n V X i n

(pois a variância da soma é soma das variâncias se as variáveis forem independentes )

  ∑ i = 1 n V X i n   =   n V X i n

(pois as variáveis são identicamente distribuídas, logo tem a mesma variância)

⇒     ∑ i = 1 n V X i n   =   n V X i n

=   n V X i n 2

=   V X i n

=   200 2 n

(pois X i ∼ N μ ,   200 2 )

Logo V x ¯ =   200 2 n

Passo 4

Com os valores de E x ¯ ,   e   V x ¯ podemos calcular n   tal que:

P μ 5   - 20   ≤ M ≤ μ 5   + 20   ≥   0.95

Faremos isso usando o T C L   .

P μ 5   - 20   ≤ M ≤ μ 5   + 20   =   P μ   - 100   ≤ 5 M ≤ μ   + 100

  =   P μ   - 100   ≤ 5 x 5 ¯ ≤ μ   + 100

  =   P μ   - 100   ≤ x ¯ ≤ μ   + 100

(subtraindo a média de x ¯   e dividido por seu desvio padrão)

  =   P μ   - 100 - μ 200 2 n 1 2   ≤ x ¯ - μ 200 2 n 1 2 ≤ μ   + 100 - μ 200 2 n 1 2

  =   P n - 100 200   ≤ Z ≤ n 100 200

  =   P n - 1 2   ≤ Z ≤ n 1 2

(onde Z ∼ N 0,1 pelo T C L   )

Passo 5

Vamos lembrar que queremos n   tal que P μ 5   - 20   ≤ M ≤ μ 5   + 20   ≥   0.95

Mas vimos, no passo anterior, que

P μ 5   - 20   ≤ M ≤ μ 5   + 20   =       P n - 1 2   ≤ Z ≤ n 1 2

Onde Z ∼ N 0,1

Ou seja, queremos n   tal que:

    P n - 1 2   ≤ Z ≤ n 1 2   ≥   0.95

Usando uma tabela z, observa-se que   n 1 2   ≥   1.96

Logo   n ≥   3.92 2

Como n     é inteiro, o menor inteiro maior que 3.92 2 é 16  

⇒   n   =   16  

Resposta

n   =   16  

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