Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Uma companhia de seguros emitiu apólices para 10000 pessoas, todas da mesma faixa etária. A probabilidade de morte durante um ano é de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etária. Em um dia pré-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1 ano, seus beneficiários receberão 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano:

(a) A companhia tenha prejuízo?

Passo 1

Vamos representar o lucro da seguradora no ano por pessoa por L , e essa v.a. L pode assumir dois valores:

L n = 12 ,   c a s o   a   p e s s o a   n ã o   m o r r a

L m = 12 - 1000 = - 988 ,   c a s o   a   p e s s o a   m o r r a

E nós sabemos que a probabilidade de uma pessoa morrer é 0 , 006 , então:

p L m = 0,006

E de não morrer, vai ser a complementar de 0 , 006 , ou seja, 0,994 :

p L n = 0,994

Lembrando da fórmula da esperança, podemos calcular E ( L ) :

E X = ∑ p x i . x i → E L = 0,006 × - 988 + 0,994 × 12 = 6

E L = μ = 6

E pela fórmula da variância, calculamos V a r ( L ) :

V a r X = ∑ p x i . x i - E X 2

V a r L = 0,006 × - 988 2 + 0,994 × 12 ² - E X 2 = 6000 - 6 ²

V a r L = σ 2 = 5964

O lucro total vai ser dado pela soma dos lucros vindos de todas as 10000 pessoas:

L t o t a l = ∑ i = 1 10000 L i

Podemos aproximar L t o t a l a uma distribuição normal então, certo? Pelo Teorema Central do Limite! Já que são muuuitas v.a.’s com mesma distribuição e independentes somadas. Então:

L t o t a l ~ N o r m a l ( n μ , n σ 2 )

Lembrando que n = 10000 e que já calculamos μ   e   σ 2 :

L t o t a l ~ N o r m a l ( 10000 × 6,10000 × 5964 )

L t o t a l ~ N o r m a l ( 60000,59640000 )

Passo 2

Agora podemos calcular o que foi pedido. A probabilidade da companhia ter prejuízo é a probabilidade do lucro total ser menor que zero:

P ( L t o t a l < 0 )

Padronizando isso aí, já que segue uma Normal:

P Z < 0 - 60000 59640000 = P Z < - 7,77

Invertendo o sinal para tirar o negativo:

P Z > 7,77

Usando a probabilidade complementar para deixar o sinal como < (no mesmo sentido que vamos procurar na tabela):

P Z > 7,77 = 1 - P Z < 7,77

Cara, mas não tem esse valor na minha tabela, e agora??? Repara comigo que quando os valores vão crescendo, a gente se aproxima cada vez mais de uma probabilidade igual a 1 , então vamos dizer que:

P Z < 7,77 ≅ 1

Entonnn...

P Z > 7,77 = 1 - 1 = 0

Ou seja, a probabilidade da companhia ter prejuízo é praticamente zero!

Parece que esse negócio de ser companhia de seguros é vantajoso mesmo, hein...

Passo 3

Resposta

a p r o x i m a d a m e n t e   z e r o

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