Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

14) A variável aleatória Y 100 é obtida a partir da soma de 100 variáveis aleatórias independentes, todas com distribuição uniforme em a , b (ou seja, Y 100 = X 1 + X 2 + … + X 100 ) . Y=Uma aproximação para a função densidade de probabilidade de Y 100 é mostrada na figura ao lado. Os valores de a e b são respectivamente iguais a:

a) 2 e 18

b) 7 e 13

c) 1 / 6 π e 10 + 1 / 6 π

d) 9,4 e 10,4

e) 2 π e 2 π + 10

Passo 1

Faaaala galera, quem tá animado pra matar mais uma questão de probabilidade?

Nesse exercício temos uma variável aleatória Y 100 que é resultado da soma de 100 outras variáveis aleatórias, que possuem distribuição uniforme em um intervalo [ a , b ] . O enunciado também dá a função de densidade de probabilidade de Y 100 , que curiosamente tem a forma de um sino (por que será né?!).

O objetivo é determinarmos a e b . Beleza?

O problema todo é que a gente só sabe a distribuição das variáveis X i , mas a função de densidade que temos é da variável Y 100 . Será que tem alguma forma de saber a distribuição de Y 100 ?

Pô, o formato da curva já entrega um pouco. Realmente Y 100 segue uma distribuição normal, isso ocorre por causa do nosso Teorema do Limite Central (TCL).

Segundo esse teorema, a distribuição da média de uma amostra de variáveis aleatórias se aproxima de uma distribuição normal (ficando cada vez mais fiel à medida que o tamanho da amostra aumenta). Daí, podemos afirmar que:

μ Y 100 = 100 ⋅ μ X

σ Y 100 2 = 100 ⋅ σ X 2

Excelente! Conseguiu entender bem?

Passo 2

Tá beleza, tudo lindo até aqui, mas como é que isso vai nos ajudar a encontrar a e b ?

É que, como X segue uma distribuição uniforme, sabemos que:

μ X = a + b 2

σ X 2 = b - a 2 12

Além disso, como foi dada a função de densidade de probabilidade de Y 100 , e agora sabemos que Y 100 segue uma distribuição normal, podemos tirar algumas conclusões sobre o seu gráfico:

A primeira delas é que o valor central de Y 100 , ou seja, Y 100 = 1000 representa a média da distribuição, μ Y 100 .

Um outro negócio massa é lembrar da lei da função densidade de probabilidade na distribuição normal.

f y = 1 2 π σ 2 ⋅ e - 1 2 y - μ σ 2

Logo, quando Y 100 = μ Y 100 , temos:

f μ Y 100 = 1 2 π σ Y 100 2

Só que pelo gráfico, vemos que f μ Y 100 = 600 π - 1 / 2 . Daí, igualando as duas equações, vem:

1 2 π σ Y 100 2 = 1 600 π

⇒ 2 π σ Y 100 2 = 600 π

Logo:

σ Y 100 2 = 300

Perfeito!

Passo 3

Agora que já descobrimos os valores de μ X ,   μ Y 100 ,   σ X 2 ,   σ Y 100 2 , podemos usar as equações lá do passo 1 :

μ Y 100 = 100 ⋅ μ X

Substituindo os dados, temos:

1000 = 100 ⋅ a + b 2

⇒ a + b = 20       ( I )

Sabemos também que:

σ Y 100 2 = 100 ⋅ σ X 2

Substituindo novamente, vem:

300 = 100 ⋅ b - a 2 12

b - a 2 = 36

⇒ b - a = 6       ( I I )

Fazendo agora I + ( I I ) , descobrimos b :

2 b = 26

∴ b = 13

Substituindo esse resultado em ( I ) , ficamos com:

a = 20 - 13

∴ a = 7

Prontinho! Matamos mais uma questão!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, valeu galera 😊

Resposta

Letra b: a = 7 e b = 13 .

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