Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

A distribuição do peso dos usuários de um elevador pode ser modelada por uma Normal com média 72 k g e com desvio padrão 10 k g . Suponha que cinco pessoas apareçam aleatoriamente para usar esse elevador. Obs: O limite de carga do elevador é de 400 k g .

(c) Suponha agora que este elevador será usado para transportar carga de 50 pacotes. A distribuição do peso de cada pacote, sendo todos provenientes do mesmo fornecedor, não pode ser modelado pela Normal. Sabe-se que os pacotes têm em média 7,5   K g e desvio padrão 2   k g . Calcular a probabilidade de que o peso no elevador exceda esse limite.

Passo 1

Letra c)

Agora vamos trabalhar com peso de pacotes. Nossa nova v.a. então:

M : peso de cada pacote

E ele diz que temos 50 pacotes, então vamos criar outra v.a. que responda por todos eles:

M T = M 1 + M 2 + M 3 … M 50

O enunciado também diz pra gente que M não pode ser modelada por uma Normal. Então qual vai ser a distribuição de M ?

Aí que tá! M separadamente nem vai interessar pra gente, já que vamos analisar o peso de todos os pacotes juntos!

E não é porque M não segue uma Normal que M T não pode seguir! Como não?!

Lembra comigo: o Teorema Central do Limite não faz restrições quanto à distribuição das variáveis que vamos agrupar. Contanto que sejam muitas, independentes, e de mesma distribuição, podemos aplicar o TCL, e aí nossa soma de v.a.s vai seguir uma Normal!

Então vamos aplicar o Teorema aqui, lembrando os parâmetros de M :

μ = 7,5   K g

σ = 2   k g

E como temos 50 pacotes:

n = 50

Daí temos que a distribuição de M T vai ser:

M T   ~   N o r m a l n μ   ; n σ ²

M T   ~   N o r m a l 50 × 7,5   ; 50 × 2 2

M T   ~   N o r m a l ( 375   ; 200 )

Pisa menos, TCL!!!

Agora vamos calcular a probabilidade dos pacotes excederem o limite de 400 k g , ou seja:

P ( M T > 400 )

Padronizando:

P M T > 400 = 1 - P Z < 400 - 375 200 = 1 - Φ 1,77 = 1 - 0,9616 = 0,0384

Resposta

Letra c)

0,0384

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