Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Enunciado

Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa R $ 3500,00 em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de R $ 120,00   ± um desvio padrão de R $ 50,00 . Se 30 dessas pessoas se quotizarem para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?

Passo 1

Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de X . Sabemos que:

E X = μ = 120

D P X = σ = 50

Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas: ( X 1 ,   X 2 ,   X 3 … X 30 ).

E os fundos levantados vão ser a soma de as 30 quantias doadas, certo? Vamos criar outra v.a. para representar a soma de todas essas doações, ou seja, a soma dos X i :

Y = ( X 1 , + X 2 , + X 3 … X 30 )

Para o montante necessário ser atingido, precisamos que todas as doações somadas resultem em pelo menos o custo da obra ( R $ 3500,00 ), então:

Y ≥ 3500

E é a probabilidade disso acontecer que temos que calcular, ou seja: P ( Y ≥ 3500 ) .

Mas qual a distribuição de Y ? Precisamos saber isso para calcular essa probabilidade. Como Y é uma soma de várias v.a’s ( n = 30 já é grande o suficiente) independentes que seguem a mesma distribuição, podemos dizer que Y vai ser aproximadamente uma distribuição Normal:

Y ~ N o r m a l ( n μ , n σ ² )

Substituindo os valores:

Y ~ N o r m a l 30 × 120 ; 30 × 50 2 → Y ~ N o r m a l 3600 ; 75000

Passo 2

Então agora podemos calcular P ( Y ≥ 3500 ) . Padronizando (já que segue uma Normal):

P Z ≥ 3500 - 3600 75000 = P Z ≥ - 0,365

Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :

P Z ≥ - 0,365 = P Z ≤ 0,365

Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...

P Z ≤ 0,365 = 0,64

Então:

P Y ≥ 3500 = 0,64

Passo 3

Resposta

64 %

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