Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

Séries de Fourier

a) Calcule a série de Fourier da função

f x = 1 + x s e - 1 ≤ x < 0 - x + 1 s e 0 ≤ x ≤ 1

b) Encontre a soma da série

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Utilizando o item a

Passo 1

( a ) Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 2 . Portanto, L = 1

Assim, a série é dada por:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x + b n s e n n π x

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Passo 2

f x = 1 + x ,       - 1 ≤ x ≤ 0 1 - x ,       0 ≤ x ≤ 1       e       f x + 2 = f ( x )

Já dá pra ter uma ideia que é uma função dente de serra né... ok, vamos as contas agora!

E qual a paridade da função?

Como f - x = f ( x ) f é par

Passo 3

Para calcular os coeficientes da Série de Fourier, lembremos que a função é par. Ou seja, só sobram os termos em cosseno.

a 0 = 1 1 ∫ - 1 1 f x d x = ∫ - 1 0 1 + x d x + ∫ 0 1 1 - x d x = 1

a n = 1 1 ∫ - 1 1 f x cos ⁡ n π x d x

b n = 1 1 ∫ - 1 1 f x sen ⁡ n x d x = 0

Assim,

a n = ∫ - 1 1 f x cos ⁡ n π x d x

a n = ∫ - 1 0 1 + x cos ⁡ n π x d x + ∫ 0 1 1 - x cos ⁡ n π x d x

Fazendo a mudança de variável   u = n π x → d x = d u n π

a n = ∫ - n π 0 1 + u n π cos ⁡ u d u n π + ∫ 0 n π 1 - u n π cos ⁡ u d u n π

Passo 4

Vamos agora deduzir a integral de u c o s u

Pela integral por partes temos: ∫ a d b = a b - ∫ b d a

Tomando a = u ; d b = cos ⁡ u d u → b = s e n ( u ) ∫ u c o s u d u = u s e n u - ∫ s e n u d u = u s e n u + c o s ⁡ ( u )

a n = ∫ - n π 0 c o s ⁡ ( u ) n π + u c o s u n π 2 d u   + ∫ 0 n π c o s ⁡ ( u ) n π - u c o s u n π 2 d u a n = [ s e n ( u ) / n π + ( u s e n ( u ) + c o s ⁡ ( u ) ) / ( n π ) ²   ] - n π   0 + [ s e n ( u ) n π - ( u s e n ( u ) + c o s ⁡ ( u ) ) / ( n π ) ²   ] 0   n π

Substituindo:

a n = 2 1 - cos ⁡ n π n π 2  

Como cos ⁡ n π vale 1 se n for par e -1 se n for ímpar temos:

a 2 n - 1 = 4 ( 2 n - 1 ) π 2

Passo 5

Então, nós obtemos que

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n   c o s n π x

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 ( 2 n - 1 π ) ²   c o s ⁡ ( 2 n - 1 ) π x

Passo 6

( b ) Para encontrar o valor dessa série façamos x = 0

f 0 = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 ( 2 n - 1 ) ² π ² = 1

Logo, isolando o somatório teremos:

4 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) ² = 1 2

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) ² = π 2 8

Resposta

a )   f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ 4 2 n - 1 π 2   c o s ⁡ ( 2 n - 1 ) x b )   ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) ² = π 2 8

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