Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( b ) Em quais pontos x do intervalo [ - L , L ] vale que f ( x ) = S f ( x ) ?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Este problema pede para analisarmos as séries de Fourier calculadas em outros exercícios, e analisarmos porquê as funções respeitam o teorema de convergência das séries de Fourier, nesta alternativa em particular, precisamos indicar em que intervalo de x , cada uma delas pode ser identificada como f ( x ) = S f ( x ) , as funções são as seguintes

15 .   a )   f ( x ) = x ,       - L ≤ x ≤ L ;

15 .   c )   f ( x ) = | x | , estendida de forma 2 L -periódica;

15 .   h )   f ( x ) = e x ,         - L ≤ x ≤ L

16 .   a )   f ( x ) = 1 ,   | x | ≤ π / 2 e f ( x ) = 0 caso contrário.

16 .   b )   f ( x ) = 1 ,   π / 2 < | x | ≤ π e f ( x ) = 0 caso contrário.

16 .   c )   f ( x ) = 1 ,   π / 2 < x ≤ π e f ( x ) = 0 caso contrário.

Note que as questões acima não batem com as indicadas no enunciado, mas é porque aparentemente a professora cometeu um erro de digitação, a questão 14 na verdade é uma EDP para ser resolvida e não tem h ) alternativas. O teorema de convergência de Fourier é o seguinte

“Seja f ( x ) uma função 2 L periódica seccionalmente contínua em [ - L , L ] , então a série de Fourier converge para todo x real e converge da seguinte forma

S f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n   c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ) = f ( x ) se f é contínua em x

S f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n   c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ) = f ( x + ) + f ( x - ) 2 se f é descontínua em x

Vamos usar isso para analisar as nossas funções! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função seccionalmente contínua. Essas funções são aquelas que a descontinuidade é apenas na forma de pequenos saltos, a melhor maneira de explicar é visualizando, são funções do tipo

As três funções da questão 15 são contínuas em um intervalo ( - L , L ) , ou seja, em cada um destes intervalos o teorema de convergência de Fourier garante que

f ( x ) = S f ( x )

note que o intervalo indicado é aberto, pois, se fizermos a extensão periódica de a ) e c ) a convergência acima não é verdade para x = - L e x = L . No entanto, a função h ) é 2 L -periódica, e devido ao formato da função modular, temos que ela é contínua, e não simplesmente seccionalmente contínua, portanto, a convergência é garantida para todo valor de x .

Vamos agora analisar as outras três funções! Saca só!

Passo 3

O enunciado da questão 16 indica que as três funções estão definidas no intervalo [ - π , π ] , todas as três são seccionalmente contínuas, elas valem 1 ou 0 nos intervalos estabelecidos, então tem apenas descontinuidades do tipo salto! Aqui precisaremos analisar cada função individualmente. A função a ) tem descontinuidades em x = π / 2 e x = - π / 2 , portanto, nesses pontos a igualdade

f ( x ) = S f ( x )

não é válida. Mas, em todos os outros pontos no intervalo ela é, sendo assim para a primeira função, temos que

f ( x ) = S f ( x ) quando ( - π , - π / 2 ) ∪ ( - π / 2 , π / 2 ) ∪ ( π / 2 , π )

note que todos os intervalos são abertos! Isso é bastante importante! Analogamente ao que fizemos acima, podemos escrever o intervalo para as outras duas funções como

f ( x ) = S f ( x ) quando ( - π , π / 2 ) ∪ ( π / 2 , π )

e

f ( x ) = S f ( x ) quando ( - π , π / 2 ) ∪ ( π / 2 , π )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

15 .   a )   ( - L , L )

15 .   c )   ( - L , L )

15 .   h )   [ - L , L ]

16 .   a )   ( - π , - π / 2 ) ∪ ( - π / 2 , π / 2 ) ∪ ( π / 2 , π )  

16 .   b )   ( - π , π / 2 ) ∪ ( π / 2 , π )

16 .   c )   ( - π , π / 2 ) ∪ ( π / 2 , π )

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