Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

Questão 5: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = 1 ,                     x ∈ [ 0 ,   1 ]   1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ]

A soma da série de cossenos da f x é:

  1. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ - 1 ,   1           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                      
  2. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   1 ]           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                     3 2 ,                                   x = - 1                        
  3. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   1 [           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                     3 2 ,                                   x = ± 1                        
  4. - 1 + x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ - 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   0 [           1 ,                                             x ∈ [ 0,1 [                   1 + x ,                           x ∈ ] 1,2 ]                   - 3 2 ,                                   x = - 1                        
  5. - 1 + x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ - 1 ,                                     x ∈ [ - 1 ,   0 [           1 ,                                             x ∈ [ 0,1 ]                   1 + x ,                           x ∈ ] 1,2 ]                    

Passo 1

Pow acho interessante aqui começarmos por um esboço da f u n ç ã o f , neh?

Sabemos que f x possui esse perfil aqui para 0 ≤ x ≤ 1 :

f x = 1

Então estamos falando dessa reta vermelha constante aqui:

Já para   x ∈ ] 1,2 ] :

f x = 1 + x

A reta em azul! Temos uma bola aberta no extremo esquerdo dessa reta, pois a função está aberta em 1 na reta .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, toda vez que tivermos falando de série de Fourier, temos que necessariamente ter uma função periódica infinita. No nosso caso, a função f não é periódica infinita . Mas a gente pode construir uma extensão periódica não é verdade?

Podemos construir uma extensão tanto em cossenos, ou também conhecida como par, como podemos construir uma em senos, conhecida como ímpar. Pelo enunciado, é essa primeira aí que queremos!

A extensão par tem que ser refletida uma vezes, uma pro lado:

Passo 3

Em termos matemáticos, a extensão par significa isso aqui:

f x = 1 ,                     x ∈ [ 0 ,   1 ] 1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ] 1 ,                     x ∈ [ - 1 ,   0 [ 1 - x ,           x ∈ [ - 2 , - 1 [

As duas primeira são exatamente a função sem modificar, enquanto as duas últimas, elas são assim, pois na extensão par:

f x = f - x

Então

f x = 1     →         f - x = 1

Para o intervalo fechado em - 1 (ele é a reflexão do da f x e a f x é fechada em 1 ) e aberto em 0 , pois o f x = 1 , já tem o 0 fechado.

Já o f x = 1 + x ...

f x = f - x = 1 - x

O intervalo dele tem que estar fechado em - 2 , pois o lado direito está fechado em 2 , e aberto em - 1 , pelo lado direito estar aberto em 1 .

A soma da série de Fourier, por definição será igual à função onde a função é contínua:

S x = f x = 1 ,                     x ∈ [ 0 ,   1 ] 1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ] 1 ,                     x ∈ [ - 1 ,   0 [ 1 - x ,           x ∈ [ - 2 , - 1 [

Porém, ela deve ser para os pontos de descontinuidade:

S x = f - x + f + x 2

Para quando a função é descontínua! Onde f - x é o valor da função pela esquerda, e f + x o valor pela direita.

No caso de S 1 e o S - 1 , trata-se de um ponto de descontinuidade:

O valor da soma em ambos os caso é:

S x = 1 + 2 2 = 3 2

Pois em ambos a função é 1 de um lado e 1 + 1 do outro!

S x = 1 ,                     x ∈ [ 0 ,   1 ] 1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ] 1 ,                     x ∈ [ - 1 ,   0 [ 1 - x ,           x ∈ [ - 2 , - 1 [ 3 2 ,             x = ± 1

A gente pode agora indexar o intervalo de [ 0 ,   1 ] e [ - 1 ,   0 [ , pois esse intervalão é contínuo e a função vale 1 . Então a partira de agora vamos falr que a função é 1 de [ - 1,1 ]

S x =   1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ] 1 ,                     x ∈ [ - 1 ,   1 ] 1 - x ,           x ∈ [ - 2 , - 1 [ 3 2 ,             x = ± 1

Isso nos dá a letra...

Resposta

Alternativa

c

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