Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( a ) Explique por que estas funções satisfazem as hipóteses do teorema de convergência das séries de Fourier estudado nesta semana.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Este problema pede para analisarmos as séries de Fourier calculadas em outros exercícios, e analisarmos porquê as funções respeitam o teorema de convergência das séries de Fourier, as funções são as seguintes

15 .   a )   f ( x ) = x ,       - L ≤ x ≤ L ;

15 .   c )   f ( x ) = | x | , estendida de forma 2 L -periódica;

15 .   h )   f ( x ) = e x ,         - L ≤ x ≤ L

16 .   a )   f ( x ) = 1 ,   | x | ≤ π / 2 e f ( x ) = 0 caso contrário.

16 .   b )   f ( x ) = 1 ,   π / 2 < | x | ≤ π e f ( x ) = 0 caso contrário.

16 .   c )   f ( x ) = 1 ,   π / 2 < x ≤ π e f ( x ) = 0 caso contrário.

Note que as questões acima não batem com as indicadas no enunciado, mas é porque aparentemente a professora cometeu um erro de digitação, a questão 14 na verdade é uma EDP para ser resolvida e não tem h ) alternativas. O teorema de convergência de Fourier é o seguinte

“Seja f ( x ) uma função 2 L periódica seccionalmente contínua em [ - L , L ] , então a série de Fourier converge para todo x real e converge da seguinte forma

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n   c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ) = f ( x ) se f é contínua em x

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n   c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ) = f ( x + ) + f ( x - ) 2 se f é descontínua em x

Vamos usar isso para analisar as nossas funções! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função seccionalmente contínua. Essas funções são aquelas que a descontinuidade é apenas na forma de pequenos saltos, a melhor maneira de explicar é visualizando, são funções do tipo

nas funções do exercício 15 , temos que ( a ) e ( h ) são funções contínuas para todo x , portanto, elas são seccionalmente contínuas. Mas, elas não são periódicas. Parece então que o teorema falha não é? Na verdade não! Essas duas funções estão definidas apenas em um intervalo [ - L , L ] , portanto, ela foi construída de forma que é uma função de período 2 L , mas ela se repete apenas uma vez! Uma análise parecida vale para a função | x | , mas essa ainda é mais direta, pois nos é afirmado que ela é estendida de forma 2 L -periódica, ou seja, é como se a função se repetisse a cada 2 L .

Maravilha! As três respeitam o teorema de convergência de Fourier! Vamos analisar agora as funções do exercício 16 . Vem comigo!

Passo 3

O enunciado da questão 16 indica que as três funções estão definidas no intervalo [ - π , π ] , todas as três são seccionalmente contínuas, elas valem 1 ou 0 nos intervalos estabelecidos, então tem apenas descontinuidades do tipo salto! Novamente, elas não são por si só periódicas, mas por estarem definidas apenas em um intervalo limitado do tipo [ - L , L ] garante que a série de Fourier converge para esse intervalo, já que estamos trabalhando em um período 2 π .

No entanto, para que elas convirjam em todo x , seria necessário fazer uma extensão 2 π -periódica. A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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