Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

b )   Se f : 0 , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier em senos para todo x satisfazendo 0 ≤ x ≤ L ?

Passo 1

E aí gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão temos uma função f : - L , L → R que é:

- Contínua;

- Possui a derivada contínua por partes;

Sobre essa função, precisamos saber quais as condições para que f coincida com a sua série de Fourier em senos em todo x ∈ - L , L .

E agora Maria e José? O que fazemos?

Muita calma nessa hora haha! Aqui, estamos falando de duas coisas:

- f possui série de Fourier apenas em senos

- f converge para a sua série de Fourier

Então, vamos analisar quais as condições pra cada uma dessas afirmações serem verdadeiras e assim concluímos com as condições para f coincidir com a sua série de Fourier.

Beleza? Vamo nessa!!

Passo 2

Primeiramente, pra que uma função f possua série de Fourier, é necessário que:

- f seja periódica;

- f seja integrável

Pelo enunciado, nada foi falado sobre f ser periódica. Assim, essa é a primeira condição que se faz necessária. Mas, é importantíssimo a gente perceber que no enunciado, o domínio de f foi definido apenas em:

[ - L , L ]

Precisamos que f seja periódica nos reais com período 2 L .

Já sobre f integrável não precisamos nos preocupar, pois o enunciado fala que f é contínua em [ - L , L ] . E, pelo teorema fundamental do cálculo toda função contínua é integrável.

Mas, para que, além de possui série de Fourier, essa série seja apenas em senos, é necessário que f seja uma função ímpar. Dessa forma, ela consegue zerar os coeficientes que multiplicam o cosseno na série de Fourier.

Portanto, dessa primeira etapa tiramos que a condição necessária é:

f periódica nos reais com período 2 L

f seja ímpar

Massa! Vamos para o próximo passo!

Passo 3

Agora vamos analisar as condições para que f consiga convergir para a sua série de Fourier em cada x no intervalo - L ≤ x ≤ L .

Vamos ter que chamar o querido Teorema de Fourier. Ele vai nos dizer que:

“Suponhamos que f : R → R seja uma função periódica, de período 2 L , e seccionalmente contínua em - L , L . Então, em todo ponto x onde f possui derivadas laterais finitas, sua série de Fourier é convergente.”

Fica tranquilo, vamo traduzir juntos o que está sendo dito nesse teorema.

Basicamente, se f atender às seguintes hipóteses:

- f periódica, de período 2 L ;

- f seccionalmente contínua em [ - L , L ] .

- Derivadas laterais finitas em um dado ponto x 0

Resultado: A série de Fourier de f é convergente em x 0 .

Entendeu?

Sobre a primeira condição, já comentamos ela no passo anterior.

Sobre a segunda condição, temos que pelo enunciado que f é contínua, então ela com certeza também é seccionalmente contínua.

Sobre a terceira condição, é dito que f possui derivada contínua por partes. Isso implica que todos os pontos possuem derivadas laterais finitas,

Assim, concluímos que as únicas condições que devemos impor à f para que ela coincida com sua série de Fourier em senos é que:

f periódica nos reais com período 2 L

f seja ímpar

Prontinho! Valeu pela atenção e até a próxima galera 😊

Resposta

f periódica nos reais com período 2 L

f seja ímpar

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