Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

Seja f : - 2,2 → R , a função definida por

f x = 0   s e - 2 ≤ x < - 1   x   s e - 1 ≤ x < 1 0   s e   1 ≤ x ≤ 2

  1. Determine a série de Fourier de f
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo [-6,6]

Passo 1

a)

Vamos lembrar das nossa fórmulas

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Onde L = 2

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Passo 2

Vamos calcular os coeficientes

a 0 = 1 2 ∫ - 2 2 f x d x = 1 2 ∫ - 2 - 1 0 d x + ∫ - 1 1 x d x + ∫ 1 2 0 d x = 0

Para n ≥ 1

a n = 1 2 ∫ - 2 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x = 1 2 ∫ - 2 - 1 0 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ - 1 1 x cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = π n x sen ⁡ n π x 2 + 2 cos ⁡ n π x 2 π 2 n 2 - 1 1   = π n sen ⁡ n π 2 + sen ⁡ - n π 2 + 2 cos ⁡ n π 2 - cos ⁡ n π 2 π 2 n 2

Como sen ⁡ n π 2 = - sen ⁡ - n π 2 e cos ⁡ n π 2 = cos ⁡ n π 2

a n = 0

Passo 3

Vamos ao cálculo de b n .

b n = 1 2 ∫ - 2 2 f x sen ⁡ n π x L d x = 1 2 ∫ - 2 - 1 0 sen ⁡ n π x L d x + ∫ - 1 1 sen ⁡ n π x L x d x + ∫ 1 2 0 sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 sen ⁡ n π x 2 - n π x cos ⁡ n π x 2 π 2 n 2 - 1 1

b n = 4 sen ⁡ n π 2 - 2 π n cos ⁡ n π 2 π 2 n 2

Logo a nossa série será

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 sen ⁡ n π 2 - 2 π n cos ⁡ n π 2 π 2 n 2 sen n π x 2

Passo 4

b)

Para esboçar o gráfico dessa função no intervalo [-6,6] vamos ter que expandi-la.

Temos que definir valores novos para os pontos de descontinuidade de forma que

f - 1 = 0 - 1 2 = - 1 2

f 1 = 1 + 0 2 = 1 2

f x = 0   s e - 2 ≤ x < - 1 - 1 2   s e   x = - 1 x   s e - 1 < x < 1 1 2   s e   x = 1 0   s e < x < 2 ,     f x + 4 = f ( x )

Assim teremos o gráfico abaixo.

Resposta

a)

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 sen ⁡ n π 2 - 2 π n cos ⁡ n π 2 π 2 n 2 sen n π x 2

b)

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