Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Considere a igualdade

π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ [ ( - 1 ) n - 1 ] n 2 c o s ( n x ) = | x |

Para quais valores de x ela é válida? Porquê?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que analisar a seguinte igualdade

π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ [ ( - 1 ) n - 1 ] n 2 c o s ( n x ) = | x |

e dizer para quais valores de x ela é verdade! Para isso, vamos lembrar do teorema de convergência das séries de Fourier, temos que

“Seja f ( x ) uma função 2 L periódica seccionalmente contínua em [ - L , L ] , então a série de Fourier converge para todo x real e converge da seguinte forma

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n   c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ) = f ( x ) se f é contínua em x

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n   c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L ) ) = f ( x + ) + f ( x - ) 2 se f é descontínua em x

Apenas analisando este teorema e as propriedades da função | x | , podemos verificar para quais valores a igualdade é verdadeira! Bora lá!

Passo 2

Note que a função | x | é par, e que estamos calculando a série de fourier para L = π (compare o lado esquerdo da igualdade no enunciado com o teorema de Fourier). Se temos que o lado esquerdo é a série de Fourier da função módulo de | x | . Em que

a 0 = π e a n = [ ( - 1 ) n - 1 ] n 2

note que b n = 0 devido a paridade da função, podemos garantir que a igualdade é válida para todo x ∈ ℝ , já que a função é contínua para todo valor de x . Então, vamos verificar se o lado esquerdo é a série de Fourier de módulo de x . Vem comigo!

Passo 3

Usando as fórmulas para os coeficientes como

a 0 = 1 π ∫ - π π | x |   d x e a n = 1 π ∫ - π π | x |   c o s ( n x ) d x

em que usei L = π , e como | x | é uma função par, temos que b n = 0 . Para resolver estas integrações vamos lembrar que | x | = x para x > 0 e | x | = - x para x < 0 , portanto, podemos escrever a nossa integração como

a 0 = 1 π ∫ - π π | x |   d x = - 1 π ∫ - π 0 x   d x + 1 π ∫ 0 π x   d x

essas integrais resultam em

a 0 = - 1 π [ x 2 2 ] | - π 0 + 1 π [ x 2 2 ] | 0 π = π

Para a outra integral vamos ter que utilizar integração por partes! Vamos fazer isso!

Passo 4

Usando a paridade da função, podemos escrever que

a n = 1 π ∫ - π π | x |   c o s ( n x ) d x = 2 π ∫ 0 π | x |   c o s ( n x )

já que selecionamos apenas o intervalo de x > 0 , temos que | x | = x , e portanto, usando a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinômio, Trigonometria, Exponencial) para escolher quem será quem em nossa integral por partes, temos que

u = x e d u = d x

assim como

d v   =   c o s ( n x ) d x e v = 1 n s e n ( n x )

de forma que a integração por parte se torna

a n = 2 π ∫ 0 π | x |   c o s ( n x ) = 2 π [ x n s e n ( n x ) | 0 π - 1 n ∫ 0 π s e n ( n x ) d x ]

Avaliando os limites no primeiro termo obtemos zero, restando a seguinte integral

a n = - 2 n π ∫ 0 π s e n ( n x ) d x

Identificando então o resultado como

a n = 2 n 2 π [ c o s ( n x ) ] | 0 π = 2 n 2 π [ c o s ( n π ) - 1 ]

Se tivermos n ímpar, temos que c o s ( n π ) = - 1 e para n par, temos que c o s ( n π ) , essa alternância de valores pode ser representada como ( - 1 ) n , portanto

a n = 2 n 2 π [ ( - 1 ) n - 1 ]

Maravilha! Usando os coeficientes no teorema de convergência de Fourier, obtemos que

S f ( x ) = π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ [ ( - 1 ) n - 1 ] n 2 c o s ( n x ) = | x |

Sendo assim, temos que a igualdade é válida para todo valor de | x | . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A igualdade é válida para todo valor de x .

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