Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

Questão 4: Seja f x = x 2 - 1 , para 0 ≤ x ≤ 1 e f x = f x - 1 para 1 < x ≤ 2 . Denotamos por S x a soma da série de senos da função f x . Quais são os valores de S 1 ,   S - 1   e   S - 1 2 ?

  1. 0 ,   0 , 3 4
  2. - 1 2 , 1 2 , 3 4
  3. - 1 2 , 1 2 ,   - 3 4
  4. 1 2 ,   - 1 2 , 3 4
  5. 1 2 , 1 2 ,   - 3 4

Passo 1

Pow acho interessante aqui começarmos por um esboço da f u n ç ã o f , neh?

Sabemos que f x possui esse perfil aqui para 0 ≤ x ≤ 1 :

f x = x 2 - 1

Então estamos falando de uma parábola:

Como f x = f x - 1 para 1 < x ≤ 2 , isso significa que o f 1 = f 0 e o f 2 = f 1 . O que estou tentando te dizer é que esse pedacinho de parábola vai se repetir no intervalo de 1 a 2 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, toda vez que tivermos falando de série de Fourier, temos que necessariamente ter uma função periódica infinita. No nosso caso, a função f não é periódica infinita . Mas a gente pode construir uma extensão periódica não é verdade?

Podemos construir uma extensão tanto em cossenos, ou também conhecida como par, como podemos construir uma em senos, conhecida como ímpar. Pelo enunciado, é essa última aí que queremos!

A extensão ímpar tem que ser refletida duas vezes, uma pro lado e depois pra cima:

Agora é só colocar esse padrão de - 2 a 2 se repetir... Em termos matemáticos, dizemos que, para o intervalo que vai de - 2 ,   0 :

f x = - f - x

Saca? Pois f - 1 = - f 1 = 0 e f 0 = - f 0 = 1 .

Passo 3

Sabemos ser a soma de Fourier, S x , igual ao valor da função f onde f é contínua e...

S x = f - x + f + x 2

Para quando a função é descontínua! Onde f - x é o valor da função pela esquerda, e f + x o valor pela direita.

No caso de S 1 , trata-se de um ponto de descontinuidade:

Veja que f - 1 pela esquerda é 0 , enquanto que pela direita, ele é - 1 , logo:

S 1 = f - 1 + f + 1 2 = 0 + - 1 2 = - 1 2

No caso do S - 1 :

O f - - 1 é 1 , já a função pela esquerda é 0 :

S - 1 = f - - 1 + f + - 1 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Agora, para o S - 1 2 , como estamos falando de um ponto na definição contínua da f , a soma de Fourier é igual a função no ponto:

S - 1 2 = f - 1 2

E quem é a função no ponto? Como se trata de um intervalo de - 2 ,   0 , como discutido no passo anterior:

f x = - f - x     →

Logo...

f - 1 2 = - f 1 2 =

- 1 2 2 - 1 =

+ 3 4

Resposta

Alternativa

b :   - 1 2 , 1 2 , 3 4

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