Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

USP - Cálculo 4 - P2 2012 - 2b

Seja f x = x 2 - 1 ,   x ∈ ( 0 , π )

a)Determine a série de Fourier de senos de f

b)Mostre que a série de Fourier de senos de f converge para uma função S : R → R e esboce o gráfico da função em [ - 2 π ,   2 π ]

c)Determine S 1863 π 2

Passo 1

a)Calma galera, você pode estar pensando, mas cara, essa função é par!!! Como fazer ela como uma série de Fourier de seno se essa série só existe pra função ímpar? Mas opa, ele só definiu a função de ] 0 , π [ , se a gente definir f x = - x 2 + 1 em ] - π , 0 [ , pronto esse moleque é ímpar!

Bem bem, a série de Fourier de seno é:

f x = ∑ k = 1 ∞ b n sen( k x )

b k = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ ( k x ) d x = 2 π ∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = 2 π [ - ∫ 0 π sen ⁡ k x d x + ∫ 0 π x 2 sen ⁡ ( k x ) d x ]

V a m o s     r e s o l v e r   a s   i n t e g r a i s   p a r a   d e t e r m i n a r   b k ,   v o u   r e s o l v e r   e l a s   i n d e t e r m i n a d a s :

- ∫ sen ⁡ k x d x = cos ⁡ k x k

A segunda integral vamos resolver de forma indeterminada primeiro, ela é maiorzinha:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = ?

Vamos fazer uma integração por partes:

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = sen ⁡ ( k x ) d x → v = - cos ⁡ k x k

Assim fica:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + ∫ cos ⁡ k x k 2 x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + 2 k ∫ x cos ⁡ k x d x

Agora para resolver essa outra integral, novamente outra integração por partes:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ ( k x ) d x → v = sen ⁡ k x k

Então simbora:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + 2 k x sen ⁡ k x k - ∫ sen ⁡ k x k d x

Desenvolvendo:

∫ x 2 sen ⁡ k x d x = - x 2 cos ⁡ k x k + 2 x k 2 sen ⁡ k x + 2 k 3 cos ⁡ ( k x )  

Então vimos que:

∫ ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = - ∫ sen ⁡ k x d x + ∫ x 2 sen ⁡ ( k x ) d x

Substituindo:

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = cos ⁡ k x k - x 2 cos ⁡ k x k + 2 x k 2 sen ⁡ k x + 2 k 3 cos ⁡ k x 0 π  

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = cos ⁡ k π k - π 2 cos ⁡ k π k + 2 k 3 cos ⁡ k π - 1 k - 2 k 3

Mas: cos ⁡ ( k π ) = ( - 1 ) n

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = ( - 1 ) n k - π 2 ( - 1 ) n k + 2 k 3 ( - 1 ) n - 1 k - 2 k 3

∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x = k 2 - 1 n - π 2 k 2 - 1 n + 2 - 1 n - k 2 - 2 k 3

Assim finalmente:

b k = 2 π [ ∫ 0 π ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ ( k x ) d x ]

b k = 2 π k 2 - 1 n - π 2 k 2 - 1 n + 2 - 1 n - k 2 - 2 k 3

E com isso a série de Fourier de seno fica definida:

f x = ∑ k = 1 ∞ b n sen( k x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)A extensão dessa função é seccionalmente contínua, e seccionalmente de classe C 1 , logo pelo teorema de convergência da série de Fourier, esta série converge a toda extensão em x ∈ R , exceto nos pontos de descontinuidade!

Então a função fica assim:

f x = x 2 - 1 ,   x ∈ 0 , π f x = 1 - x 2 , x ∈ - π , 0

E é só repetir o período que não tem erro!

O gráfico ficou:

Passo 3

c)   S 1863 π 2 = ?

Ae tu fica, “É clã, soldado morreu na trincheira” Mas calma, lembra que isso é uma função periódica e uma função ímpar, a cada 1 período a área necessariamente tem que dar zero!, vamos reescrever isso:

S 1863 π 2 = S 465 ( 2 π ) + 3 π 2 = S 3 π 2

Para facilitar mais ainda, podemos tirar mais coisa:

S 3 π 2 = S 3 π 2 - 2 π = S - π 2

Mas opa, a gente viu que dentro de ( - π , 0 ) a função que rege isso é:

f x = 1 - x 2 = S ( x )

Logo:

S π 2 = 1 - π 2 2 = 1 - π 2 4

Resposta

a)

b k = 2 π k 2 - 1 n - π 2 k 2 - 1 n + 2 - 1 n - k 2 - 2 k 3

f x = ∑ k = 1 ∞ b n sen( k x )

b) A extensão dessa função é seccionalmente contínua, e seccionalmente de classe C 1 , logo pelo teorema de convergência da série de Fourier, esta série converge a toda extensão em x ∈ R , exceto nos pontos de descontinuidade

c) S π 2 = 1 - π 2 4

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