Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

Teste 13: seja f : - 2 ,   2 → R uma função ímpar, C 1 por partes, com f 1 = 0 e cujo gráfico no intervalo 0 ,   2 está esboçado a seguir:

Sendo S x a soma da sua série de Fourier, analise as afirmações a seguir:

  1. S 2 n = 3 2 para todo n ∈ Z
  2. S x = S x + 2 para todo x ∈ R
  3. S x = f x para todo x ∈   ] 0 ,   2 [
  4. S n = 0 para todo n ∈ Z

Podemos afirmar que:

  1. Apenas 2 e 4 são verdadeiras.
  2. Apenas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. Apenas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. Apenas 3 e 4 são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar cada um e dizer se é verdadeiro ou não, ok? Antes porém, só perceba que a série de Fourier precisa de uma função periódica, então periodizando a nossa função de uma forma que ela seja uma função impar como no enunciado...

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Passo 2

Primeiro a afirmação 1 .

Ora, toda vez que temos um n pertencente aos inteiros em S 2 n temos S de um número par, por exemplo:

S 0 ,   S 2 …

Quem é S 0 ?

SIM! Como a função é descontínua nesse ponto, será a média dos valores da função nesse ponto. Como temos pela esquerda f - 0 = 2 e pela direta f + 0 = 2 , a soma de Fourier então é...

S 0 = f - 0 + f + 0 2 = 0

Para os s 2 também será 0 , pois f - 1 2 é 1 já o f de 2 pela direita é menos 1 :

S 2 = f - 2 + f + 2 2 = 1 - 1 2 = 0

Como a função é periódica, em todo par, de fato, teremos S 2 n = 0 . Então a afirmação é falsa.

Passo 3

Ora, não! Sabe o porquê? Veja aqui então:

S x = S x + 2

É de fato a caracterização de uma função periódica de período 2 . Só tem um probleminha: A nossa função além de ser ímpar ela é de período 4 :

Por isso que no desenho ela repete o padrão a cada 4 valores de x , então o correto seria dizer que:

S x = S x + 4

Ou ainda, como ela é uma extensão ímpar (o de baixo é o inverso do de cima):

S x = - S x + 2

Passo 4

Essa terceira é verdadeira!

já que estamos falando de um intervalo aberto onde a função f é totalmente contínua pelo teorema de Fourier essas funções devem ser iguais.

Passo 5

Por último, vamos analisar a 4 :

S n = 0 para todo n ∈ Z .

Ora, sabemos que com relação aos números pares ( S 2 n ) isso é verdade, pois analisamos lá no passo 2. Como os números inteiros podem ser divididos em números pares e ímpares:

S n   →     S 2 n     e       S 2 n + 1

Resta saber os resultados dos ímpares:

S 2 n + 1

Veja na figura que em todos os termos ímpares como 1 , 3 , etc. a função é 0 . Como S x = f x quando a função f é contínua, então de fato os termos ímpares são 0 . Portanto a alternativa é verdadeira!

Resposta

D - Apenas 3 e 4 são verdadeiras.

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