Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Considere a função f ( x ) = x definida no intervalo [ 0 , π ] .

( d ) Use o resultado do item ( c ) para mostrar que

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 = π 2 8

Justifique usando o teorema de Fourier.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos a função

f ( x ) = x

na alternativa ( c ) , obtivemos a série de fourier em cossenos como

g ( x ) = π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 c o s [ ( 2 n - 1 ) x ]

precisamos usar esse resultado para mostrar que

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 = π 2 8

e justificar através do Teorema de Fourier! Vamos fazer isso então!

Passo 2

Note que podemos obter a série infinita que queremos demonstrar se fizermos x = 0 , nestas condições, temos que

g ( 0 ) = π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 c o s [ ( 2 n - 1 ) 0 ] = π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2

usando que g ( 0 ) = 0 , e isolando a nossa série temos que

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 = π 2 8

como queríamos demonstrar! Mas como justificamos isso com o Teorema de Fourier? O Teorema diz que se temos uma função periódica seccionalmente contínua a série

g ( x ) = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ [ a m   c o s ( m π x L ) + b m s e n ( m π x L ) ]

converge para a nossa função! Como a série de fourier que calculamos é a série da extensão par de período 2 π da função f ( x ) , e como a mesma é seccionalmente contínua, podemos garantir que o resultado acima é válido! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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