Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

UNICAMP, Cálculo 3, P3 - 2013.1, Questão 3

Seja

f x = 1 ,     - 1 x < 0 0 ,     0 x < 1 ,       f x + 2 = f ( x )

( a ) Sem calcular a série de Fourier (use o Teorema de Fourier), responda: para que valor a série de Fourier converge em x = 0 ? (Não esqueça a justificativa.)

( b ) Calcule a séire de Fourier da função f .

( c ) Tomando x = - 1 / 2 deduza o valor da soma

n = 1   - 1 n 2 n - 1

Passo 1

( a ) A função f ( x ) tem uma descontinuidade em x = 0 , como mostra a figura abaixo.

Pelo Teorema de Fourier, a série converge para o valor médio na descontinuidade. Assim:

L = f 0 - + f ( 0 + ) 2

Pela esquerda, f ( x ) tende a f 0 - = 1 ; pela direita, f ( x ) tende a f 0 + = 0 . Logo:

L = 1 + 0 2 = 1 2

Então, a série converge para L = 1 / 2 em x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 2 . Portanto, L = 1 .

Assim, a série é dada por:

f x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x L + b n s e n n π x L

Passo 3

Vamos avaliar os coeficientes da série:

a 0 = 1 L - L L f x d x

a 0 = - 1 1 f x d x

a 0 = - 1 0 f x d x

a 0 = 1 . 0 - - 1 = 1

Note que as descontinuidades de f ( x ) não afetam a integral.

Agora, temos:

a n = 1 L - L L f x cos n π x L d x

a n = - 1 0 cos n π x d x

a n = s e n n π x n π - 1 0

a n = 0

Passo 4

Para os coeficientes b n :

b n = 1 L - L L f x sen n π x L d x

b n = - 1 0 sen n π x d x

b n = - c o s n π x n π - 1 0

b n = - 1 n π + cos - n π n π

Mas note que

cos - n π = 1 ,       n   p a r - 1 ,       n   í m p a r

Então:

b n = 0 ,       n   p a r - 2 n π ,       n   í m p a r

Passo 5

Assim, montamos nossa série:

f x = a 0 2 + n = 1 a n cos n π x L + b n s e n n π x L

f x = 1 2 + n = 1 b n   s e n n π x

Devido à particularidade de b n ser não-nulo somente para n ímpar, escrevemos n = 2 k - 1 ,   k Z + , e alteramos o somatório para k :

n = 1 b n   s e n n π x = k = 1 b 2 k - 1   s e n 2 k - 1 π x

b 2 k - 1 = - 2 ( 2 k - 1 ) π

Note que n = 1 corresponde a k = 1 , então o somatório em k deve começar em 1 também.

Finalmente, obtemos:

f x = 1 2 + k = 1 - 2 2 k - 1 π   s e n 2 k - 1 π x

f x = 1 2 - k = 1 2 2 k - 1 π   s e n 2 k - 1 π x

Passo 6

( c ) Vamos tomar, agora, x = - 1 / 2 .

f 1 2 = 1 2 - k = 1 2 2 k - 1 π   s e n - 2 k - 1 π 2

Repara o seguinte: 2 k - 1 é sempre ímpar, de modo que o argumento do seno alterna entre - π / 2 e - 3 π / 2 . Isto é, o seno alterna entre - 1 e 1 .

k = 1 s e n   - π 2 = - 1

k = 2 s e n   - 3 π 2 = 1

k = 3 s e n   - 5 π 2 = s e n   - π 2 = - 1

Então o somatório vai ficar assim, olha:

k = 1 2 2 k - 1 π   s e n - 2 k - 1 π 2 = k = 1 2 2 k - 1 π   - 1 k

Passo 7

Agora vamos dar uma rearrumada na equação:

f - 1 2 = 1 2 - k = 1 2 2 k - 1 π   - 1 k

f - 1 2 = 1 2 - 2 π k = 1 - 1 k 2 k - 1  

Mas, sabemos que f 1 / 2 = 1 , portanto

1 = 1 2 - 2 π k = 1 - 1 k 2 k - 1  

2 π k = 1 - 1 k 2 k - 1   = - 1 2

k = 1 - 1 k 2 k - 1   = - π 4

Só trocar de k para n agora:

n = 1 - 1 n 2 n - 1   = - π 4

Resposta

( a ) L = 1 / 2 .

b f x = 1 2 - k = 1 2 2 k - 1 π   s e n 2 k - 1 π x

( c ) n = 1 - 1 n 2 n - 1   = - π 4

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