Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2011.1 - 3b,c

Seja f   : 0,2 R a função dada por

f x = x ,     s e   0 x 1 0 ,     s e   1 < x 2

( a ) Construa a extensão par e periódica de f para toda a reta R , com período 4 , e calcule a série de Fourier desta extensão.

( b ) Quanto vale esta série nos pontos x = 1 e x = 0 ?

Não esqueça a justificativa.

( c ) Tomando x = 1 , calcule o valor da série

k = 1 1 2 k - 1 2

Passo 1

( a ) Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 4 . Isto é, f x + 4 = f ( x ) . Portanto, L = 2 .

A extensão par é obtida espelhando-se a função:

f x = - x ,     - 1 x 0 x ,     0 x 1 0 ,       - 2 x < - 1   o u   1 < x 2 f x + 4 ,       x R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A série é dada por cossenos (já que ela é par):

f x = a 0 2 + n = 1 a n   c o s n π x 2

Vamos avaliar os coeficientes da série:

a 0 = 1 L - L L f x   d x

a 0 = 1 2 - 2 2 f x   d x

a 0 = 1 2 - 1 0 ( - x )   d x + 1 2 0 1 x   d x

a 0 = 1 2 - x 2 2 - 1 0 + 1 2 x 2 2 0 1

a 0 = 1 2 1 2     + 1 2 1 2    

a 0 = 1 2

Passo 3

Para o termo geral a n , temos:

a n = 1 L - L L f x cos n π x 2 d x

a n = 1 2 - 2 2 f x cos n π x 2 d x

a n = 1 2 - 1 0 - x cos n π x 2 d x + 1 2 0 1 x cos n π x 2 d x

Vamos resolver logo por integração por partes...

    x u c o s n π x 2 d x v ' = x u 2 sen n π x 2 n π v -     1 . u ' 2 sen n π x 2 n π v d x

    x cos n π x 2 d x = x 2 sen n π x 2 n π - 2 n π     sen n π x 2 d x

    x cos n π x 2 d x = 2 x sen n π x 2 n π - 2 n π - 2 cos n π x 2 n π

    x cos n π x 2 d x = 2 x sen n π x 2 n π + 4 cos n π x 2 n 2 π 2

Passo 4

Então, temos o seguinte:

a n = - 1 2 2 x sen n π x 2 n π + 4 cos n π x 2 n 2 π 2 - 1 0 + 1 2 2 x sen n π x 2 n π + 4 cos n π x 2 n 2 π 2 0 1

a n = - 1 2 4 n 2 π 2 + 2 n π s e n - n π 2 - 4 n 2 π 2 cos - n π 2 + 1 2 2 n π sen n π 2 + 4 n 2 π 2 cos n π 2 - 4 n 2 π 2

a n = - 2 n 2 π 2 - 1 n π s e n - n π 2 + 2 n 2 π 2 cos - n π 2 + 1 n π sen n π 2 + 2 n 2 π 2 cos n π 2 - 2 n 2 π 2

Passo 5

Mas sabemos que

s e n - n π 2 = - s e n n π 2

cos - n π 2 = cos n π 2

Vamos obter

a n = - 2 n 2 π 2 + 1 n π s e n n π 2 + 2 n 2 π 2 cos n π 2 + 1 n π sen n π 2 + 2 n 2 π 2 cos n π 2 - 2 n 2 π 2

a n = 2 n π s e n n π 2 + 4 n 2 π 2 cos n π 2 - 1

Passo 6

Agora note que para n par, o seno se anula; para n ímpar é o cosseno que se anula.

a n = 4 n 2 π 2 cos n π 2 - 1 ,       n   p a r 2 n π s e n n π 2 - 4 n 2 π 2 ,       n   í m p a r

E, assim, temos:

f x = a 0 2 + n = 1 a n   c o s n π x 2

f x = 1 4 + n = 1 a n   c o s n π x 2

Passo 7

( b ) Nos pontos x = 0 e x = 1 , a série converge para:

x = 0 :     L 0 = f 0 - + f 0 + 2 = 0 + 0 2 = 0

x = 1 :     L 1 = f 1 - + f 1 + 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Passo 8

( c ) Vamos tomar x = 1 :

f 1 = 1 4 + n = 1 a n   c o s n π 2

Agora veja que se n for ímpar, o cosseno é zero. Então vamos tomar só os casos em que n seja par:

f 1 = 1 4 + n = 1 4 n 2 π 2 cos n π 2 - 1   c o s n π 2

Mas n é par, isto é, n = 2 k , k Z * + :

f 1 = 1 4 + k = 1 4 4 k 2 π 2 cos 2 k π 2 - 1   c o s 2 k π 2

f 1 = 1 4 + k = 1 1 k 2 π 2 cos k π - 1   c o s k π

Passo 9

De novo, olha aí que cos k π = - 1 k , então o termo

cos k π - 1   c o s k π = - 1 k - 1 - 1 k

será

- 1 k - 1 - 1 k = 0 ,       k   p a r 2 ,       k   í m p a r

Aí fica assim: k = 2 m - 1 .

f 1 = 1 4 + m = 1 2 ( 2 m - 1 ) 2 π 2

Passo 10

Mas como vimos que, em x = 1 , a série converge para f 1 = L 1 = 1 / 2 , teremos:

1 2 = 1 4 + m = 1 2 ( 2 m - 1 ) 2 π 2

m = 1 2 ( 2 m - 1 ) 2 π 2 = 1 4

m = 1 1 2 m - 1 2 = π 2 8

E basta trocar m por k para vermos que o somatório que buscamos se iguala a π 2 / 8 .

Resposta

a Extensão: f x = - x ,     - 1 x 0 x ,     0 x 1 0 ,       - 2 x < 1   o u   1 < x 2 f x + 4 ,       x R

Série de Fourier: f x = 1 4 + n = 1 a n   c o s n π x 2 ; a n = 4 n 2 π 2 cos n π 2 - 1 ,       n   p a r 2 n π s e n n π 2 - 4 n 2 π 2 ,       n   í m p a r

( b ) L 0 = 0 ; L 1 = 1 / 2 .

( c ) k = 1 1 2 k - 1 2 = π 2 / 8

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