Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Passo 1

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas.

f 1 = 2 x - 3 ;     f 2 = x 2 + 1 ;     f 3 = 2 x 2 - x

Derivando

f 1 ' = 2 ;     f 2 ' = 2 x ;       f 3 ' = 4 x - 1

f 1 ' ' = 0 ;       f 2 ' ' = 2 ;       f 3 ' ' = 4

Então, o wronskiano será:

W 2 x - 3 , x 2 + 1 ; 2 x 2 - x = 2 x - 3 x 2 + 1 2 x 2 - x 2 2 x 4 x - 1 0 2 4

Passo 2

Calculando o wronskiano

W = 2 x - 3 2 x 4 + 2 x 2 - x 2 2 - 2 x - 3 4 x - 1 2 - ( x 2 + 1 ) ( 2 ) ( 4 )

W = 16 x 2 - 24 x + 8 x 2 - 4 x - 2 8 x 2 - 12 x - 2 x + 3 - 8 x 2 - 8

W = 16 x 2 - 24 x + 8 x 2 - 4 x - 16 x 2 + 28 x - 6 - 8 x 2 - 8

W = - 14

W ≠ 0

O wronskiano é diferente de 0. Logo, as funções são linearmente independentes.

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f ,geh são funções diferenciáveis, mostre que W f g ,f h = f 2 W g , h .