Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 20

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ,

f 1 x = 2 + x ,   f 2 x = 2 + | x |

Passo 1

Para que f 1 ( x ) e f 2 ( x ) sejam linearmente dependentes, temos de ter:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Para todo x   ( - , ) , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.

Ou seja:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Tem que ser satisfeita para x   ( - , 0 ) , que é o mesmo que x < 0 , e para x   ( 0 , ) , que é mesmo que x > 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar a situação x < 0 :

Para x < 0 , f 2 x = 2 - x , então temos:

k 1 2 + x + k 2 2 - x = 0

Fica:

2 k 1 + k 1 x + 2 k 2 - k 2 x = 0

Ajeitando:

2 k 1 + k 1 x = - 2 k 2 + k 2 x

Igualando o termo constante do lado esquerdo com o do lado direito temos:

2 k 1 = - 2 k 2

A única possibilidade é:

k 1 = k 2 = 0

O que não satisfaz as condições para dependência linear pois para isso seria necessário que pelo menos uma das constantes fosse diferente de zero.

Logo, f 1 ( x ) e f 2 ( x ) são linearmente independentes em ( -   , )

Resposta

f 1 e   f 2 são Linearmente independentes.

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