Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 11, Questão 13

Passo 1

Para determinarmos a relação de dependência entre essas funções devemos calcular o wronskiano delas e, antes disso, devemos antes calcular as derivadas.

f 1 = x ,     f 2 = x ln ⁡ x ,     f 3 = x 2 ln ⁡ x

f 1 ' = 1 ,     f 2 ' = ln ⁡ x + 1 ,     f 3 ' = 2 x ln ⁡ x + x

f 1 ' ' = 0 ,     f 2 ' ' = 1 x ,     f 3 ' = 2 ln ⁡ x + 3

Logo o wronskiano será.

W x , x ln ⁡ x , x 2 ln ⁡ x = x x ln ⁡ x x 2 ln ⁡ x 1 ln ⁡ x + 1 2 x ln ⁡ x + x 0 1 x 2 ln ⁡ x + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o wronskiano.

W = x ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x + 3 + x 2 ln ⁡ x x - x 2 x ln ⁡ x + x x - 2 ln ⁡ x + 3 x ln ⁡ x

W = x 2 ln 2 ⁡ x + 5 ln ⁡ x + 3 + xln ⁡ x - 2 xln ⁡ x - x - 2 x ln 2 ⁡ x - 3 xln ⁡ x

W = 2 x + x ln ⁡ x

Para que as funções sejam LI basta que o wronskiano seja não nulo em um ponto do intervalo, que no nosso caso é x > 0 . Nesse Wronskiano podemos perceber que ele será diferente de zero para todos os pontos exceto para x = e - 2

2 x + x ln ⁡ x ≠ 0 ,   ∀ x ≠ e - 2

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas