Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 15

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ,

f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 , f 3 x = 4 x - x 2

Passo 1

Perceba que f 3 ( x ) tem muita cara de ser uma combinação linear de f 1 ( x ) e f 2 ( x ) . Portanto vamos tentar colocar as funções na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0  

Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.

Temos então:

k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0   ( i )

Ajeitando temos:

k 1 x + k 2 x 2 = - 4 k 3 x + k 3 x 2

Do termo elevado ao quadrado temos:

k 2 = k 3

Do termo de expoente 1:

k 1 = - 4 k 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos substituir as constantes na equação ( i ) :

- 4 k 3 x + k 3 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

Fica:

0 = 0

Portanto provamos que f 1 x ,   f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são linearmente dependentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente dependentes.

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