Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Passo 1

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas.

f 1 = 2 x - 3 ;     f 2 = x 2 + 1 ;     f 3 = 2 x 2 - x ;     f 4 = x 2 + x + 1

Derivando

f 1 ' = 2 ;     f 2 ' = 2 x ;       f 3 ' = 4 x - 1 ;       f 4 ' = 2 x + 1

f 1 ' ' = 0 ;     f 2 ' ' = 2 ;       f 3 ' ' = 4 ;       f 4 ' ' = 2

f 1 ' ' ' = 0 ;     f 2 ' ' ' = 0 ;       f 3 ' ' ' = 0 ;       f 4 ' ' ' = 0

Então, o wronskiano será:

W 2 x - 3 , x 2 + 1 ; 2 x 2 - x ; x 2 + x + 1 = 2 x - 3 x 2 + 1 2 x 2 - x x 2 + x + 1 2 2 x 4 x - 1 2 x + 1 0 2 4 2 0 0 0 0

Passo 2

Podemos calcular o wronskiano, utilizando o método de Laplace

W = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 + a 41 A 41

W = 2 x - 3 A 11 - 2 A 21 + 0 A 31 - 0 A 41

A 11 = - 1 2 2 x 4 x - 1 2 x + 1 2 4 2 0 0 0  

A 11 = 0

A 21 = - 1 3 x 2 + 1 2 x 2 - x x 2 + x + 1 2 4 2 2 0 0

A 21 = 0

Então

W = 2 x - 3 ( 0 ) - 2 ( 0 )

W = 0

O wronskiano é nulo. Logo, as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Para determinar a dependência entre elas, vamos utilizar 3 constantes na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x + k 4 f 4 ( x ) = 0

E para que elas sejam combinações lineares, pelo menos uma das constantes deve ser diferente de 0.

k 1 2 x - 3 + k 2 x 2 + 1 + k 3 2 x 2 - x + k 4 ( x 2 + x + 1 ) = 0

2 x k 1 - 3 k 1 + x 2 k 2 + k 2 + 2 x 2 k 3 - x k 3 + x 2 k 4 + x k 4 + k 4 = 0

x 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 + x 2 k 1 - k 3 + k 4 - 3 k 1 + k 2 + k 4 = 0

Então sabemos que:

k 2 + 2 k 3 + k 4 = 0

2 k 1 - k 3 + k 4 = 0

E

- 3 k 1 + k 2 + k 4 = 0

Estabelecendo, por exemplo

k 1 = 2

Temos que

k 2 = 13

k 4 = - 7

k 3 = - 3

Então a relação de dependência entre as funções é

2 2 x - 3 + 1 3 x 2 + 1 - 3 2 x 2 - x - 7 ( x 2 + x + 1 ) = 0

Resposta

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f ,geh são funções diferenciáveis, mostre que W f g ,f h = f 2 W g , h .