Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Considere a EDO não-homogênea y ' ' - y ' - 2 y = g x ,       x ∈ R , onde g x =   1 ,     s e   x < 0 x + 1 ,       s e   x ≥ 0  

  1. Encontre a solução geral da EDO homogênea associada;
  2. Encontre uma solução partícula da EDO não-homogênea; e
  3. Dê a solução geral da EDO.

Passo 1

A EDO homogênea associada é dada por:

y ' ' - y ' - 2 y = 0

Como possui coeficientes constantes buscamos solução da forma y = e r x , tal que:

y ' ' - y ' - 2 y = ( r 2 - r - 2 ) e r x = 0

  r 2 - r - 2 = 0    

Esta última chamamos equação característica da EDO, pois nos permitirá achar os valores de r que compõem a solução. Por inspeção visual:

r + 1 r - 2 = 0

r = - 1 e r = 2

Logo, substituindo na solução geral y = e r x , encontramos que as soluções da EDO homogênea associada são { e - x ,   e 2 x } .

Passo 2

Para garantir que as soluções encontradas compõem a solução geral da EDO de 2 a   ordem é preciso garantir que há 2 soluções linearmente independentes. Se fosse n a ordem, seriam necessárias n   soluções L.I.

Dessa forma, utilizaremos o Wronskiano:

W e - x ,   e 2 x = e - x e 2 x e - x ' e 2 x ' = e - x e 2 x - e - x 2 e 2 x = 3 e x > 0

Como W ≠ 0 para pelo menos um valor de x , as soluções são L.I.

Passo 3

Por fim, concluímos que a solução geral da EDO homogênea associada é:

y h = c 1 e - x + c 2 e 2 x

Resposta

y h = c 1 e - x + c 2 e 2 x

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