Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Seja L y = y ' ' + P 1 y ' + P 2 y . Para resolver a equação não homogênea L y = R ( x ) , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução u 1 de L y = 0 seja conhecida, e que não se anule no intervalo J .

  1. Prove que a outra solução de L y = 0 pode ser dada pela fórmula u 2 x = u 1 ∫ c x Q t u 1 t 2 d t , onde Q t = e - ∫ P 1 x d x , e c é um ponto em J .
  2. Mostre que u 1 ( x ) e u 2 ( x ) são linearmente independentes em J .

Passo 1

Faaala pessoal. Para provar independência entre funções deriváveis basta aplicar o determinante Wronskiano. Se acharmos um valor de x ∈ J , tal que W u 1 , u 2   ≠ 0 , então as funções são L.I. em J e W ( u 1 , u 2 ) x ≠ 0 ,   ∀ x ∈ J . Assim:

W u 1 ,   u 2   x = u 1 u 2 u 1 ' u 2 ' = u 1 u 1 v u 1 ' u 1 ' v + u 1 v ' =

= u 1 u 1 ' v + u 1 v ' - u 1 v ⋅ u 1 '

= u 1 2 v '

Passo 2

Porém, v x = ∫ c x e x p ⁡ ( - ∫ c s P 1 d t ) u 1 s 2 d s , logo pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

v ' x = e x p ⁡ ( - ∫ c x P 1 d t ) u 1 x 2

Assim,

W u 1 ,   u 2   x = u 1 2 ⋅ e x p ⁡ ( - ∫ c x P 1 d t ) u 1 x 2

= e - ∫ c x P 1 d t

Como e > 0 , uma potência desse número é positiva também, logo:

W u 1 ,   u 2   x > 0

E u 1 e u 2 são linearmente independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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