Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 11, Questão 12

Passo 1

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas.

f 1 = e x ;     f 2 = e - x ;     f 3 = senh ⁡ x

Derivando

f 1 ' = e x ;     f 2 ' = - e - x ;       f 3 ' = cosh ⁡ x

f 1 ' ' = e x ;       f 2 ' ' = e - x ;       f 3 ' ' = senh ⁡ x

Então, o wronskiano será:

W e x ; e - x ; senh ⁡ x = e x e - x senh ⁡ x e x - e - x cosh ⁡ x e x e - x senh ⁡ x

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Passo 2

Calculando o wronskiano

W = e x - e - x senh ⁡ x + e x e - x cosh ⁡ x + e - x e x senh ⁡ x + e x e - x senh ⁡ x - e - x e x cosh ⁡ x - e - x e x senh ⁡ x

W = 0

O wronskiano é nulo. Logo, as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Para determinar a dependência entre elas, vamos utilizar 3 constantes na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0

E para que elas sejam combinações lineares, pelo menos uma das constantes deve ser diferente de 0.

A sacada dessa questão é lembrar que

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Então teremos que

k 1 e x + k 2 e - x + k 3 e x - e - x 2 = 0

k 1 e x + k 2 e - x + k 3 e x 2 - k 3 e - x 2 = 0

Então sabemos que:

k 1 = - k 3 2

E

k 2 = k 3 2

Estabelecendo, por exemplo

k 1 = 1

Temos que

k 3 = - 2

k 2 = - 1

Então a relação de dependência entre as funções é

e x - e - x - 2 senh ⁡ x = 0

Resposta

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