Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Se y 1 t = e - t c o s ⁡ ( 7 t ) e y 2 t = e - t s e n ( 7 t ) , então o wronskiano W ( y 1 , y 2 ) ( t ) é:

Escolha uma opção:

  1. - 7 e - 2 t
  2. - 7 e - t
  3. 7 e - 2 t
  4. 7 e t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Como relembrar é viver...

O wronskiano de duas funções y 1 , y 2 é:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

Beleza?

Passo 2

No nosso caso as funções são:

y 1 = e - t c o s ⁡ ( 7 t )

y 2 = e - t s e n ( 7 t )

E as derivadas:

y 1 ' = - e - t cos ⁡ 7 t - 7 e - t s e n ( 7 t )

y 2 ' = - e - t s e n 7 t + 7 e - t c o s ⁡ ( 7 t )

E agora é só jogar na fórmula:

W = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

W = e - t c o s ⁡ ( 7 t ) - e - t s e n 7 t + 7 e - t c o s ⁡ ( 7 t ) - e - t s e n ( 7 t ) - e - t cos ⁡ 7 t - 7 e - t s e n ( 7 t )

Agora nos resta fazer as distributivas e ver se dá pra simplificar:

W = - e - 2 t cos ⁡ 7 t s e n 7 t + 7 e - 2 t cos 2 ⁡ 7 t + e - 2 t cos ⁡ 7 t s e n 7 t + 7 e - 2 t s e n 2 ( 7 t )

Notem que os termos mistos com s e n ( 7 t ) c o s ⁡ ( 7 t ) se cancelam e ficamos com os termos quadráticos:

W = 7 e - 2 t s e n 2 7 t + 7 e - 2 t cos 2 ⁡ 7 t = 7 e - 2 t s e n 2 7 t + cos 2 ⁡ 7 t

E como s e n 2 a + cos 2 ⁡ a = 1 , o wronskiano para essas duas soluções é:

W = 7 e - 2 t

E a alternativa correta é a letra (c)

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

( c )

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