Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 21

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ,

f 1 ( x ) = 1 + x ,   f 2 ( x ) = x , f 3 ( x ) = x 2

Passo 1

Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.

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Passo 2

Vimos na teoria como calcular o Wronskiano de duas funções. Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 "

Portanto vamos começar calculando as derivadas:

Para f 1 ( x )

f 1 x = 1 + x

f 1 ' x = 1

f 1 " ( x ) = 0

Para f 2 ( x )

f 2 x = x

f 2 ' x = 1

f 2 " ( x ) = 0

Para f 3 ( x )

f 3 x = x 2

f 3 ' x = 2 x

f 3 " ( x ) = 2

Perceba que f 1 x , f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são diferenciáveis n vezes no intervalo ( - , )

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano agora:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 " = 1 + x x x 2 1 1 2 x 0 0 2 =

1 + x 2 -   0 - x 2 - 0 + x 2 0 - 0 = 2 + 2 x - 2 x + 0 = 2

Passo 4

Pelo teorema que estudamos, como o Wronskiano nunca se anula no intervalo I = ( - , )

Podemos afirmar que f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

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