Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

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Enunciado

Sejam y 1 e y 2 soluções da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t ) , em que p ,   q   e   g são contínuas em um intervalo aberto I . Então, 2 y 1 + 4 y 2   não é solução da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = 6 g ( t ) .

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado é falso! Peto teorema da dependência e independência linear das soluções nos diz que se y 1 e y 2 são soluções da EDO, então uma combinação linear delas, como por exemplo

2 y 1 + 4 y 2

Também vai satisfazer a equação diferencial!

Então essa combinação é sim solução!

Passo 2

Ah, mas você pode se perguntar o que muda com aquele 6 g ( t ) na equação diferencial. E eu te respondo: nada! Isso porque aquela vai fazer parte da solução particular, e que também é uma combinação linear da outra equação, então essa solução também vai funcionar bem direitinho!

Sendo assim a resposta correta é: falso

Resposta

f a l s o

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
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Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .