Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q05

Dado um conjunto de funções { f 1 , f 2 , . . . , f n } , considere o determinante de ordem n : W ( f 1 , f 2   , . . . , f n )   = f 1 f 2 f n f ´ 1 f ´ 2 f ´ n   f 1 n - 1 f 2 n - 1 f n n - 1

Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a ( n   - 1 ) - é s i m a derivadas das funções na n-ésima linha.

Sejam as funções: f ( x ) =   e 2 x ; g ( x ) = s e n x e h ( x ) =   x 2 + 3 x + 1

Determine o Wronskiano W ( f , g , h ) em   x =   0 .

( )   7

( ) - 1  

( ) - 2

( ) 2

( ) 1  

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão que a gente calcule esse determinante chamado Wronskiano.

Bom, primeiro, como temos três funções, n = 3 . Então, vamos ver como as funções ficarão ao serem derivadas até a segunda derivada.

f x = e 2 x f ' x = 2 e 2 x f ' ' x = 4 e 2 x

g x = sen x g ' x = cos x g ' ' x = - sen x  

h x =   x 2 + 3 x + 1 h ' x = 2 x + 3 h ' ' x = 2

W ( f , g   , h )   = e 2 x sen x x 2 + 3 x + 1 2 e 2 x   cos x 2 x + 3 4 e 2 x - sen x 2

Como a questão pediu no ponto em que x = 0 , teremos:

W ( f , g   , h )   = 1 0 1 2   1 3 4 0 2

Bom, vamos calcular esse determinante então:

W f , g   , h = 2 + 0 + 0 - 4

W f , g   , h = - 2

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Resposta

W f , g   , h = - 2

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