Exercícios Resolvidos de Wronskiano - Dependência e Independência Linear

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q32

Identifique o valor de t entre os ponto s do intervalo [   - π , π   ] , onde as funções {   t ,   s e n   t ,   c o s   t } são linearmente dependentes.

( )   π

( ) - π

( ) π / 4

( )   0

( ) π / 3

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer saber para qual valor de t as nossas funções t , sen t , cos t são linearmente dependentes. Bom, podemos usar o teorema do Wronskiano para nos ajudar aqui.

A carinha do Wronskiano é a seguinte:

W = f 1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 ( x ) f ' 1 ( x ) f ' 2 ( x ) f ' 3 ( x ) f ' ' 1 ( x ) f ' ' 2 ( x ) f ' ' 3 ( x )

Bom, agora podemos substituir pelas nossas funções.

W = t sen t cos t 0 cos t - sen t 0 - sen t - cos t = - t cos 2 t - t sen 2 t = - t ( cos 2 t + sen 2 t )  

W = - t

Para serem linearmente dependentes, o valor do Wronskiano deve ser zero. Logo,

W = - t = 0 t = 0

Logo, temos que t = 0 !

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Resposta

t = 0

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