Exercícios Resolvidos de Atrito

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 260, 6/48

Um bloco de massa m 0 é colocado entre a parede vertical e o pequeno rolete ideal da extremidade superior, A , da barra esbelta uniforme de massa m . A extremidade inferior, B , da barra repousa sobre a superfície horizontal. Se o coeficiente de atrito estático em B e também entre o bloco e a parede vale μ s , determine a expressão geral para o valor mínimo , θ m í n , de θ para o qual o bloco permanecerá em equilíbrio. Avalie sua expressão para μ s = 0,50   e m / m 0 = 10 . Para essas condições, verifique a possibilidade de haver deslizamento em B .

Passo 1

Nosso primeiro passo é montar o diagrama de corpo livre:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar primeiro o nosso bloco:

Perceba que só existe atrito no lado esquerdo do bloco, ou seja, atrito entre o bloco e a parede. Isso acontece porque no lado direito tem um rolete ideal, ou seja, sem atrito.

Como estamos lidando com uma situação extrema, devemos calcular o atrito como sendo o máximo. Então, o atrito entre o bloquinho e a parede será:

F a t A = μ S N A

Vamos achar a normal no ponto A fazendo o equilíbrio das forças verticais que atuam somente no bloquinho:

∑ F y = 0       →         F a t A - P 1 = 0

F a t A = m 0 g       →         μ S N A = m 0 g

N A = m 0 g μ S

Passo 3

Agora vamos analisar a barra...

Onde F a t B é força de atrito em B .

Vamos agora calcular, através do equilíbrio de momentos, outro valor para N A . Para isso, vamos fazer o somatório de momentos em relação à B   (isso elimina as forças N B e F B ) :

∑ M B = 0    

Repare que distância da força peso da barra até o ponto B é:

E a distância da força normal N A até o ponto B é:

Então, considerando o momento positivo girando no sentido horário, o somatório de momentos com relação ao ponto B das forças que atuam somente na barra fica assim:

∑ M B = 0     →       m g l 2 s e n θ - N A l c o s θ = 0

Então, a força normal que atua na barra é:

m g l 2 s e n θ - N A l c o s θ = 0       →         m g l 2 s e n θ = N A l c o s θ

N A = m g s en ⁡ θ 2 cos ⁡ θ         →         N A = m g 2 t g θ

Passo 4

Mas perceba que a força normal do bloco é transmitida para a barra por causa do contato entre esses dois elementos:

Ou seja, vamos igualar as duas expressões que achamos para N A :

N A = N A       →         m g 2 t g θ = m 0 g μ S

Como queremos saber θ m í n , vamos isolar o ângulo na expressão acima:

t g θ = 2 μ S m 0 m       →       θ m í n = a r c t g 2 μ S m 0 m

Perceba que estamos partindo do princípio que tudo está em equilíbrio. Assim, esse é o ângulo mínimo que estávamos procurando.

Sabendo que m / m 0 = 10 e μ S = 0,5 , vamos ter que:

θ m í n = a r c t g 2 0,5 . 1 10

θ m í n = 21,8 °  

Passo 5

Agora precisamos verificar se esse ângulo realmente mantém o conjunto em equilíbrio...

Para isso, vamos checar se a força de atrito em B é menor que a força de atrito máxima. Se for menor, isso significa que o ponto B não entrou no regime dinâmico o que, em outras palavras, quer dizer que a barra não começou a deslizar.

Então, vamos fazer o equilíbrio horizontal das forças:

∑ F x = 0       →       N A - F B = 0

F B = N A

Mas sabemos que para a barra:

N A = m g 2 t g θ

Então vamos substituir isso na nossa equação de equilíbrio:

F B = N A       →         F B = m g 2 t g θ

Mas sabemos que θ = 21,8 ° , então:

F B = m g 2 t g 21,8 °

F B ≅ 0,2 m g

Agora vamos fazer o somatório das for��as verticais para acharmos a força normal em B :

∑ F y = 0       →       N B - m g = 0

N B = m g

Com N B , podemos calcular a força de atrito máxima:

F B m á x = N B μ S

F B m á x = 0,5 m g

Agora temos que comparar a força de atrito em B que achamos com o seu valor máximo para que a barra continue parada:

F B < F B m á x

0,2 m g < 0,5 m g

Ou seja, o valor que achamos realmente é menor do que o valor máximo. Então, podemos garantir que a barra realmente não irá deslizar!

Resposta

θ m í n = 21,8 °  

N ã o   o c o r r e   d e s l i z a m e n t o   e m   B

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