Exercícios Resolvidos de Atrito

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 253, 6/3

A força P é aplicada ao caixote de 50   k g quando ele está em repouso. Determine o módulo e a direção da força de atrito F exercida pela superfície sobre o caixote se

a )   P = 0

  b )   P = 200 N  

  c )   P = 250 N

d ) Que valor de P é necessário para iniciar o movimento para cima do plano inclinado? Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o caixote e o plano são μ s = 0,25 e μ k = 0,20 , respectivamente.

Passo 1

Nesse caso, como P = 0 , estamos lidando com um problema de plano inclinado onde só temos a força peso ( W ) do bloquinho e a normal que surge do contato entre o bloco e a superfície:

Vamos decompor a força peso no eixo x y :

Nesse caso, as componentes do peso ao longo do plano e perpendicular ao mesmo são:

W x = W s e n θ

W y = W c o s θ

Onde W é o peso do bloquinho e vale:

W = m g       →         W = 50 ( 9,81 )

W = 490,5   N

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Passo 2

Quando o bloquinho tende a descer o plano inclinado, surge uma força de atrito contrária ao movimento:

Vamos fazer o equilíbrio das forças que estão no eixo x :

Duas forças agem ao longo do plano: a força de atrito e a componente x do peso. Assim:

∑ F x = 0       →       W x - F a t = 0

F a t = W x = 490,5 s e n 15 °

F a t = 127   N

E ao longo do eixo y ? Nesse caso, existe a força normal e a componente y do peso:

∑ F y = 0       →       N - W y = 0

N = W y = 490,5 cos ⁡ 15 °

N = 473,8   N

E agora? O que temos que fazer? Temos que ver se aquela força de atrito F a t não ultrapassa o atrito estático máximo. Caso ultrapasse, o atrito que estamos lidando é o dinâmico e teremos que recalcular.

Então:

F a t m á x = N μ S           →           F a t m á x = 473,8 0,25

F a t m á x = 118,45   N

Perceba que o atrito que achamos é maior que o atrito máximo:

F a t > F a t m á x       →         127 >   118,45  

Então, o atrito, na verdade, é dinâmico e deve ser calculado pela fórmula do atrito dinâmico:

F a t = F a t d i n = N μ K       →         F a t = 473,8 0,20

F a t = 94,8   N

E a sua direção e sentido? A força de atrito é contrária ao movimento do bloquinho, então ela aponta no sentido da parte negativa do eixo x :

F → a t = - 94,8 i ^   N

Passo 3

Agora vamos considerar a força P = 200   N . Vamos fazer quase a mesma coisa, só que agora vamos incluir nas equações as componentes da força P .

Então vamos decompor esta força no nosso eixo x y :

Então, fazendo o equilíbrio das forças que estão no eixo x , temos:

∑ F x = 0       →       W x - F a t - P c o s   20 ° = 0

F a t = W x - P c o s   20 °

F a t = 490,5 s e n 15 ° - 200 c o s 20 °

F a t = 127,04 - 186   →     F a t = - 61   N

Opa, o atrito deu negativo. Isso quer dizer que assumimos um sentido errado para o atrito. Se você reparar na nossa equação acima, assumimos que ele aponta no sentido contrário ao eixo x . Como o sinal deu negativo, ele aponta no sentido positivo do eixo x :

Então, o vetor da força de atrito fica assim:

F → a t = 61 i ^   N

E agora? Agora a gente tem que ver se o valor da força de atrito que calculamos é maior ou menor que a força de atrito máxima.

Para isso temos que calcular a normal novamente fazendo o equilíbrio das forças que estão no eixo y :

∑ F y = 0       →       N - W y + P s e n 20 ° = 0

N = W cos ⁡ 15 ° - P s e n 20 °       →       N = 473,8   - 200 s e n 20 °

N = 473,8   - 68,4       →           N = 405,4   N

Agora vamos calcular a força de atrito estático máxima:

F a t m á x = N μ S       →         F a t m á x = 405 0,25

F a t m á x = 101,35   N

Perceba que a força de atrito que calculamos é menor que a força de atrito estático máxima!

F a t < F a t m á x       →         61 < 101,35

Então, a nossa premissa de que a força de atrito era menor que a for��a de atrito máxima estava correta e podemos dizer que:

F → a t = 61 i ^   N

Passo 4

Agora vamos considerar a força P = 250   N .

Vamos fazer a mesma coisa que antes, só mudamos o valor da força. Assim:

∑ F x = 0       →       W x - F a t - P c o s   20 ° = 0

F a t = W x - P c o s   20 °

F a t = 490,5 s e n 15 ° - 250 c o s 20 °

    F a t = - 108   N

Se deu negativo, então o sentido que escolhemos para a força de atrito estava errada. Como estávamos assumindo que o atrito apontava para cima, ele na verdade está apontando para baixo:

Então, a força de atrito pode ser escrita assim:

F → a t = 108 i ^   N

Mas precisamos calcular a força de atrito estático máxima novamente, pois o valor da normal vai mudar. Então, vamos fazer o equilíbrio das forças que estão no eixo y :

∑ F y = 0       →       N - W y + P s e n 20 ° = 0

N = W cos ⁡ 15 ° - P s e n 20 °       →       N = 473,8   - 250 s e n 20 °

  N = 388,3   N

Então, a força de atrito estático máxima vai ser:

F a t m á x = N μ S       →         F a t m á x   = 388,3   0,25

F a t m á x = 97,1   N

Perceba que a força de atrito que achamos é maior que a força de atrito estático máxima:

F a t > F a t m á x       →         108 > 97,1

O nosso atrito é, na verdade, dinâmico. Então, precisamos usar a fórmula do atrito dinâmico para calculá-lo:

F a t = F a t d i n = 388,3   0,20 = 77,7   N

Então, o nosso atrito é:

F → a t = 77,7 i ^   N

Passo 5

O valor de P necessário para iniciar o movimento para cima do plano inclinado é tal que a componente de P no eixo x esteja prestes a superar o valor máximo do atrito estático menos a componente do peso do bloco que está no eixo x :

Isso significa que para se iniciar o movimento:

P x ≥ W sin ⁡ 15 ° + F a t m á x

Vamos considerar a situação do “prestes a superar”, igual a:

P x = W sin ⁡ 15 ° + F a t m á x

Neste caso:

P x = W sin ⁡ 15 ° + F a t m á x

P c o s θ = W sin ⁡ 15 ° + N μ s

O θ é ângulo de inclinação da força P que é de 20 ° . Vamos deixar para substituir seu valor lá no final!

Mas o valor de N é estabelecido através da equação de equilíbrio no eixo y :

∑ F y = 0

N + P s e n θ - W cos ⁡ 15 ° = 0

N = W cos ⁡ 15 ° - P s e n θ

Substituindo N na primeira equação que achamos, vamos ter que:

P c o s θ = W sin ⁡ 15 ° + N μ s

P c o s θ = W sin ⁡ 15 ° + W cos ⁡ 15 ° - P s e n θ μ s

P c o s θ + μ s P s e n θ = W sin ⁡ 15 ° + μ s W cos ⁡ 15 °

P c o s θ + μ s s e n θ = W ( sin ⁡ 15 ° + μ s cos ⁡ 15 ° )

P = W sin ⁡ 15 ° + μ s cos ⁡ 15 ° c o s θ + μ s s e n θ

Substituindo os valores, encontramos:

P = 490,5 sin ⁡ 15 ° + 0,25 ∙ cos ⁡ 15 ° c o s 20 ° + 0,25 ∙ s e n 20 °

P = 239   N

Resposta

a )   F → a t = - 94,8 i ^   N

b )   F → a t = 61 i ^   N

c )   F → a t = 77,7 i ^   N

d )   P = 239   N

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