Exercícios Resolvidos de Atrito

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Enunciado

2) A figura mostra uma barra homogênea de comprimento 2 L e massa m apoiada sobre um disco de massa M e raio R que se encontra apoiado no plano inclinado de um ângulo α em relação à horizontal; o vínculo em A é uma articulação, o plano inclinado é fixo e o sistema está em equilíbrio estático. O coeficiente de atrito é o mesmo nos pontos de contato B e C, os vetores devem ser expressos no sistema de coordenadas de eixos ( x , y ) de versores ( i → ,   j →   ) , respectivamente, indicado na figura.

São dados: m = 3   kg, M = 8 kg, α = 45 ° , g = 10 m / s 2 .

Determine:

a) A reação vincular no ponto A da barra.

b) A força de atrito aplicada no disco pela barra no ponto B.

c) A força normal aplicada no disco pela barra no ponto B.

d) A força de atrito aplicada no disco pelo plano inclinado no ponto C.

e) O valor mínimo do coeficiente de atrito para que não ocorra escorregamento no contato em B.

Passo 1

Eaíiiii gente!! Tudo certinho com vocês?

Mais uma questão de mecânica, agora misturando disco, atrito, plano inclinado e tudo o que tem direito!

a) Para começar, esse item nos pede para calcular o valor da reação vincular no ponto A da barra. Essa reação vincular nada mais é do que a reação do apoio em A, pois como a barra está articulada nesse ponto, deve haver uma reação vertical e horizontal ali.

Uma boa forma de conseguir identificar as equações de equilíbrio é desenharmos o diagrama de corpo livre (DCL) da nossa barra AD.

Beleza! Podemos agora escrever as equações de equilíbrio tanto de força como de momento:

∑ F x = 0 ⇒ H A - F a t B = 0 ∴ H A = F a t B                   ( 1 )

∑ F y = 0 ⇒ N B + V A - m g = 0 ∴ V A = m g - N B                   ( 2 )  

∑ M A = 0 ⇒ N B ⋅ L - m g ⋅ L = 0   ∴ N B = m g                     ( 3 )

Usando (3) em (2), vamos ficar com:   V A = m g - m g = 0 .

Beleza, já matamos uma parte da reação vincular em A. Mas ainda precisamos calcular F a t B para conseguir determinar H A .

Como já usamos nossas 3 equações do equilíbrio, vamos tentar encontrar essa força analisando o DCL do disco.

Lembrando que N B = m g , escrevendo as equações de equilíbrio de momento, ficamos com:

Em relação a O :

∑ M O = 0 ⇒ F a t B ⋅ R - F a t C ⋅ R   = 0 ∴ F a t B = F a t C           ( 4 )

Em relação a C , vamos ter:

∑ M c   = 0 ⇒ m g ⋅ R s e n α + M g ⋅ R s e n α - F a t B ⋅ R + R c o s α = 0

⇒     F a t B = M + m g ⋅ R s e n α R + R c o s α =   M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α             ( 5 )

Olha só, excelente! Conseguimos descobrir F a t B , logo usando a nossa equação (1) lá do início, vamos ter:

H A = F a t B = M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α  

Agora colocando só na forma de vetor, e levando em conta também que V A = 0 , temos:

R A → =   M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α i → + 0 j →

Como m = 3   kg, M = 8 kg, α = 45 ° , g = 10 m / s 2 , ficamos com:

R A → =   8 + 3 10 ⋅ 2 2 1 + 2 2 i → + 0 j →

R A → = 45,56 i → + 0 j → N

Prontinho! Foi um pouco longa, mas os resultados que encontramos aqui vão nos ajudar no restante da questão 😊

Passo 2

b) Agora ele nos pede para determinar a força de atrito que atua no ponto B, ou seja, o atrito entre o disco e a barra. Mas, como eu falei pra vocês, no item A encontramos muitos resultados que vão ser úteis.

Lá na equação (5) encontramos que:

F a t B =   M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α  

Esse resultado é em módulo, mas pelo DCL sabemos também a direção e sentido dessa força. Aqui é importante ter cuidado com a interpretação do enunciado, pois ele pede a força de atrito aplica no disco, então temos que considerar o F a t B apontando para i → .

Logo:

F a t B → =   M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α i → + 0 j →

Como m = 3   kg, M = 8 kg, α = 45 ° , g = 10 m / s 2 , ficamos com:

F a t B → = ( 45,56 i → + 0 j → ) N

Passo 3

c)

Nesse item nos é pedido a força normal aplicada no ponto B do disco pela barra, ou seja, N B → .

No item a já calculamos a intensidade desse vetor, pelo DCL do disco vemos também que essa força aponta para o sentido - j → .

Logo, podemos escrever que:

N B → = - m g j →  

Como m = 3   kg e g = 10 m / s 2 :

N B → = - 30 j →   N

Passo 4

d)

Olha aí, nada novo debaixo do sol. Mais uma vez é pedido algo que já calculamos na letra a, uhuuul!Devemos encontrar o a força de atrito aplicada no ponto C do disco, pelo plano inclinado.

Pela equação (4) do item a, temos que:

F a t B = F a t C

Mas, já sabemos o valor de F a t B . Daí:

F a t C =     M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α

Para determinar as componentes em i → e j → , vamos analisar a geometria da figura abaixo:

Daí, temos que:

F a t C x → = F a t C ⋅ c o s α i → =   M + m g ⋅ s e n α c o s α 1 + c o s α i →  

F a t C y → = F a t C ⋅ s e n α j → =   M + m g ⋅ s e n 2 α 1 + c o s α j →

Logo, juntando os dois podemos escrever que:

F a t C → = M + m g ⋅ s e n α c o s α 1 + c o s α i → +   M + m g ⋅ s e n 2 α 1 + c o s α j →    

Como m = 3   kg, M = 8 kg, α = 45 ° , g = 10 m / s 2 , ficamos com:

F a t C → = 32,22 i → +   32,22 j → N

Passo 5

e)

Aee, última letra da questão!

Pra finalizar, precisamos determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito μ de modo que não ocorra escorregamento em B, ou seja, o equilíbrio estático seja mantido naquele ponto.

Esse tipo de pergunta é bem comum em questões envolvendo atrito na mecânica. O importante pra entender bem ela, é refinar um pouco o nosso conceito da força de atrito.

A ideia é que a força de atrito é sempre menor ou igual que o produto μ pela normal no ponto de contato. Muitas vezes confundimos esse conceito e consideramos a igualdade logo de cara, mas ela nem sempre é válida. Portanto, temos que:

F a t B =   M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α ≤ μ ⋅ N B

∴   M + m g ⋅ s e n α 1 + c o s α ≤ μ ⋅ m g ⇒ μ ≥ M + m ⋅ s e n α m ( 1 + c o s α )    

Logo, o menor valor possível do coeficiente de atrito, ocorre justamente na igualdade:

μ =   M + m ⋅ s e n α m ( 1 + c o s α )  

Como m = 3   kg, M = 8 kg, α = 45 ° , ficamos com:

μ = 1,52

Prontinho galera, finalizamos mais uma questão! Espero que vocês tenham aprendido bastante.

Até a próxima 😉

Resposta

a) R A → = 45,56 i → + 0 j → N

b)

F a t B → = ( 45,56 i → + 0 j → ) N

c)

N B → = - 30 j →   N

d)

F a t C → = 32,22 i → +   32,22 j → N

e)

μ = 1,52

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