Exercícios Resolvidos de Atrito

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 255, 6/19

A roda mostrada rolará para a esquerda quando o ângulo α do cabo for pequeno. Quando α for grande, a roda rolará para a direita. Determine, por inspeção da geometria do diagrama de corpo livre, o ângulo α para o qual a roda não rolará. Se o coeficiente de atrito estático μ s e a massa da roda é m , determine o valor de P para o qual a roda girará para o valor crítico de α .

Passo 1

Pense o seguinte: quando a roda não gira, o momento resultante é nulo, certo? Vamos pensar no ponto de giração G abaixo, logo onde existe o contato entre a roda e o chão:

Se o momento resultante em relação a esse ponto for nulo, não ocorrerá o giro. E como garantimos isso?

Simples, basta que todas as forças sejam concorrentes nesse ponto, ou seja, que a linha de ação das forças que atuam na roda passe por este ponto. Sabemos que a força normal e o peso passam pelo ponto G , só falta saber a força P :

Precisamos fazer a força P passar pelo ponto de contato entre a roda e o chão, porque assim ela não gera momento com relação a este ponto (já que não vai ter braço de alavanca). Observe que o peso e a força normal passam por esse ponto.

Temos que arranjar um jeito de colocar o ângulo α em função dos nossos dados que são os raios r 1 e r 2 . Para isso, vamos usar esse triângulo retângulo aqui:

Então, podemos dizer que:

s e n   α = r 1 r 2           →         α = s e n - 1 r 1 r 2

Beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos utilizar as equações de equilíbrio para fazer achar a normal e a força de atrito. Para isso temos que achar as componentes vertical e horizontal da força P :

Vamos começar fazendo o somatório das forças verticais:

∑ F → y = 0 →         →           N + P c o s   α - m g = 0

N = m g - P c o s   α

E o equilíbrio horizontal fica:

∑ F → x = 0 →         →         P s e n   α - F a t = 0

F a t = P s e n   α

Passo 3

Como queremos saber o ângulo máximo para o qual a roda não irá girar, ela estará na parte do atrito estático. Então, temos que calcular o atrito estático máximo:

F a t = F a t m á x = N u s

Então, a nossa equação do equilíbrio horizontal pode ser escrita assim:

F a t = P s e n   α       →           N u s = P s e n   α

Mas já temos uma expressão para a força normal, lembra?

N = m g - P c o s   α

Vamos substituir ela na equação do equilíbrio horizontal:

N u s =   P s e n   α       →           m g - P c o s   α u s = P s e n   α

Como queremos saber P , vamos isolá-lo na equação:

m g - P c o s   α u s = P s e n   α       →       P s e n   α + μ S P c o s   α = μ S m g

  P s e n   α + μ S cos ⁡ α = μ S m g

P = μ S m g s e n   α + μ S c o s   α

Beleza?

Passo 4

Ainda temos que ajeitar mais a expressão de P ...

Nós sabemos que:

s e n   α = r 1 r 2

Lembra da fórmula fundamental da trigonometria? Ela diz que:

s e n 2 α + c o s 2 α = 1

Então, para saber quanto vale o c o s   α vamos fazer:

s e n 2 α + c o s 2 α = 1       →     cos ⁡ α = 1 - s e n 2 α

cos ⁡ α = 1 - r 1 r 2 2         →         cos ⁡ α = 1 - r 1 2 r 2 2

Podemos ajeitar melhor isso:

cos ⁡ α = 1 - r 1 2 r 2 2         →           cos ⁡ α = r 2 2 - r 1 2 r 2 2

cos ⁡ α = r 2 2 - r 1 2 r 2

Agora é só substituirmos o cos ⁡ α e o s e n   α na nossa equação para achar P :

P = μ S m g s e n   α + μ S c o s   α       →         P = μ S m g r 1 r 2 + μ S r 2 2 - r 1 2 r 2

Agora vamos arrumar essa expressão aí:

P = μ S m g r 1 r 2 + μ S r 2 2 - r 1 2 r 2       →         P = μ S m g r 1 + μ S r 2 2 - r 1 2 r 2

  P = μ S m g r 2 r 1 + μ S r 2 2 - r 1 2

Resposta

α = s e n - 1 r 1 r 2

  P = μ S m g r 2 r 1 + μ S r 2 2 - r 1 2

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