Exercícios Resolvidos de Box Plot

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Enunciado

Cinco pessoas estão almoçando juntas. Os nomes dessas pessoas, ordenando-se em termos de idade (do mais novo pro mais velho), são: Paulo, Andrea, Jorge, Daniela e Vitor. Com base em suas idades, foram calculadas as seguintes medidas: Média = 21 , Mediana = 25 , Distância Interquartil = 10 , Amplitude = 30 (todas elas expressas em anos) e Variância = 146 anos².

  1. Quais são as idades de cada um deles?
  2. Alguma dessas cinco observações pode ser considerada discrepante, pelo critério para identificação de outliers que se baseia nos quartis da variável? Qual?

Obs.: Amplitude = (Maior valor) (Menor valor).

Passo 1

Vamos organizar assim...

Vou representar as idades de cada um pelas iniciais: x p , x a , x j , x d , x v .

E a gente sabe que em ordem crescente de idades, temos:

x p < x a < x j < x d < x v

Agora a gente precisar interpretar cada informação dada no enunciado e descobrir cada idade.

Vem comigo!

Passo 2

A informação mais direta aí é a da mediana.

Mediana é o valor central, que nesse caso, será o terceiro valor em ordem crescente (já que são 5 no total).

M e d i a n a = x j = 25

Já sabemos que Jorge tem 25 anos.

Passo 3

Todas as outras informações vão nos levar a equações.

Distancia interquartil nesse caso será o quarto menos o segundo valor.

x d - x a = 10

Amplitude:

x v - x p = 30

A média:

x p + x a + x j + x d + x v 5 = 21

x p + x a + x j + x d + x v = 105

Variância, podemos usar qualquer um dos formatos da fórmula:

s x 2 = ∑ x i 2 - n ( x - ) ² n - 1 = ∑ ( x i - x - ) ² n - 1

Usando o primeiro formato:

x p 2 + x a 2 + x j 2 + x d 2 + x v 2 - 5 × 21 2 4 = 146

x p 2 + x a 2 + x j 2 + x d 2 + x v 2 = 4 × 146 + 5 × 21 2

x p 2 + x a 2 + x j 2 + x d 2 + x v 2 = 2789

Como a gente já sabe que x j = 25 a gente pode substituir e por fim ficar com as seguintes equações.

x p + x a + x d + x v = 80

x p 2 + x a 2 + x d 2 + x v 2 = 2164

x d - x a = 10

x v - x p = 30

Passo 4

Vamos equacionar essas paradas aí.

x d - x a = 10 → x d = 10 + x a     I

x v - x p = 30 → x v = 30 + x p

Aí a gente substitui em...

x p + x a + x d + x v = 80

x p + x a + 10 + x a + 30 + x p = 80

2 x p + 2 x a = 40

x p + x a = 20

Disso a gente tira que:

x a = 20 - x p

E substituindo em I :

x d = x a + 10

x d = 30 - x p

Passo 5

Agora a gente já tem todas as idades em função de uma só, concorda? Da de Paulo...

x a = 20 - x p

x d = 30 - x p

Da amplitude:

x v = 30 + x p

Substituímos todas na fórmula da variância:

x p 2 + x a 2 + x d 2 + x v 2 = 2164

x p 2 + 20 - x p 2 + 30 - x p 2 + 30 + x p 2 = 2164

x p 2 + 400 - 40 x p + x p 2 + 900 - 60 x p + x p 2 + 900 + 60 x p + x p 2 = 2164

4 x p 2 - 40 x p + 2200 = 2164

4 x p 2 - 40 x p + 36 = 0

Dividindo tudo por 4 .

x p 2 - 10 x p + 9 = 0

Resolvendo:

Δ = 100 - 4 × 9 = 64

x p = 10 ± 64 2

x p = 10 ± 8 2

x p = 9   o u   x p = 1

É rapaz, vamos ter agora que analisar as duas possibilidades e ver qual que dá certo.

Passo 6

Se x p = 9 .

x a = 20 - x p → x a = 11

x d = 30 - x p → x d = 21

x v = 30 + x p → 39

x j = 25

Só que observa comigo, lembra que o exercício disse que:

x p < x a < x j < x d < x v

Nessa configuração aí, com x j = 25 e x d = 21 , isso não dá certo... ficaria:

x p < x a < x d < x j < x v

O que não está certo!!! Então x p não é 9 .

Passo 7

Vamos ver x p = 1 ... provavelmente vai dar certo né!

x a = 20 - x p → x a = 19

x d = 30 - x p → x d = 29

x v = 30 + x p → x v = 31

x j = 25

Agora sim:

x p < x a < x j < x d < x v

Show?

P a u l o → 1   a n o

A n d r e a → 19   a n o s

J o r g e → 25   a n o s

D a n i e l a → 29   a n o s

V i t o r → 31   a n o s

Passo 8

(b)

Temos que calcular as cercas inferior e superior e ver se tem valores que estão além delas.

Cerca inferior:

= Q 1 - 3 2 D I Q

No caso:

Q 1 = x a = 19

D I Q = 10

Então:

= 19 - 1,5 × 10

= 4

Cerca Superior:

= Q 3 + 3 2 D I Q

Sendo que:

Q 3 = x d = 29

Aí:

= 29 + 1,5 × 10

= 44

Passo 9

Agora só ver se algum dos valores está fora desse intervalo entre as cercas que é 4 - 44 .

Tem um outlier, né?

Que é exatamente a idade de Paulo:

x p = 1

Resposta

a   P a u l o   1 ,   A n d r e a   19 ,   J o r g e   25 ,   D a n i e l a   29 ,   V i t o r   31

b   1   o u t l i e r   q u e   é   P a u l o   1

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