Exercícios Resolvidos de Box Plot

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Enunciado

Considere uma amostra de 100 tempos de falha de um componente elétrico (meses) que tenha gerado o seguinte boxplot:

c) Encarando agora esse boxplot como se ele fosse uma distribuição de probabilidade, ou seja, encarando os quartis amostrais como se fossem quartis populacionais, suponha que 50 componentes sejam sorteados (com reposição e de modo independente) e que se anote o tempo que levou até o componente falhar. Usando o TCL, obtenha uma aproximação para a probabilidade de observarmos mais de 35 componentes cujos tempos de falha tenham sido menores que 8,7   meses.

Passo 1

(c)

Queremos a prob. de 35 componentes, dentre os 50 , falharem antes de 8,7 meses.

Primeiro vamos pensar em qual seria a prob. de um componente qualquer falhar antes de 8,7 meses.

Esse 8,7 é o nosso terceiro quartil, certo? O Q 3 ... isso significa que 75 % dos valores estão abaixo dele, ou seja, 75 % de chance de um componente aleatório falhar antes de 8,7 meses.

Passo 2

Agora que a gente já sabe a prob. de sucesso pra um componente qualquer (que é a prob. de falhar antes de 8,7 meses), vamos avançar:

X → n º   d e   c o m p o n e n t e s   q u e   f a l h a m   a n t e s   d e   8,7   m e s e s ,   d e n t r e   o s   50

Se cada componente é retirado com reposição, de forma independente e todos tem a mesma prob. de falharem antes do tempo determinado... então estamos tratando de uma Binomial.

X   ~   B i n o m i a l   50   ; 0,75

n = 50

p = 0,75

E temos que calcular a prob. de mais de 35 falharem...

P X > 35 =   ?

Passo 3

Rapaz, mas n = 50 é muito grande, concorda? Lembra o que a gente faz quando isso acontece? O enunciado deu até a dica pra gente...

Podemos usar o Teorema Central do Limite e aproximar a Binomial por uma Normal com:

μ = n p = 50 × 0,7 5

μ = 37,5

E:

σ 2 = n p 1 - p = 37,5 × 0,25

σ ² = 9,375

Daí:

X   ~   N o r m a l   37,5   ; 9,375

Passo 4

E com isso calculamos pela normal... (usando a correção de continuidade).

P X > 35 + 0,5 = P Z > 3 5,5 - 37,5 9,375

= P Z > - 0 , 65

= P Z < 0 , 65

Usando a tabela da Normal:

= 0,7422

Resposta

c   0,7422

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