Exercícios Resolvidos de Box Plot

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Enunciado

As tabelas na parte inferior correspondem às alturas dos alunos matriculados na disciplina PROBEST-2013-2, turma 3VB. Usando os dados apresentados, pede-se:

- Através da análise descritiva e do diagrama de Pareto, construir o Boxplot determinando se há valores discrepantes.

Passo 1

Nesse problema temos que construir o diagrama de Boxplot da distribuição. Se você não tem muita familiaridade com isso relaxa que eu vou te explicar os pontos principais. Uma figura do tipo Boxplot é assim:

Para fazer diagrama, temos que identificar os quartis e os limites inferior e superior. Nos próximos passos vou detalhar como se faz isso.

Passo 2

Vou dar a ideia básica de como achar os quartis. Para isso, vou dar um exemplo usando uma amostra ordenada:

1 ,   2 ,   4 ,   5 ,   7 ,   9 ,   10 ,   11

Essa amostra não tem nada a ver com o problema, estou colocando-a aqui apenas para explicar a ideia. O primeiro quartil é o número que deixa 75 % dos dados acima e 25 % abaixo. Nesse caso, como temos 8 dados, 25 % representa os dois primeiros dados e a fronteira entre esses dados e os demais dados está entre os números 2 e 4 . Vou tomar a média deles como o quartil:

Q 1 = 3

Assim, o primeiro quartil Q 1 = 3 divide a amostra em duas partes: uma com 75 % dos valores e a outra com 25 % . O segundo quartil é o valor que divide a amostra em duas metades (ele é a famosa mediana). Nesse caso, ele será a média entre 5 e 7 :

Q 2 = 6

Já o terceiro quartil divide a amostra em uma parte com 75 % da amostra e outra com 25 % , porém diferentemente do primeiro quartil, a amostra com 25 % agora representa os maiores valores. Vemos que essa divisão acontece entre o 9 e 10 , de modo que

Q 3 = 9,5

Espero que esse exemplinho bobo tenha ilustrado para você como a gente pode encontrar os quartis. Agora vamos ao nosso problema!

Passo 3

Olhe para a tabela de frequência. Vou dispor os dados em ordem crescente:

≤ 1,57   →     3 → 5,45 %

1,57 - 1,63 →     10 → 18,18 %

1,63 - 1,69 →     8 → 14,55 %

1,69 - 1,75 →     17 → 30,91 %

1,75 - 1,81 →     9 → 16,36 %

1,81 - 1,87 → 7 → 12,73 %

> 1,87 → 1 → 1,82 %

Já coloquei também as frequências relativas de cada faixa. Somando as frequências das duas primeiras faixas, achamos

5,45 % + 18,18 % = 23,63 % < 25 %

Somando também com a terceira faixa:

23,63 % + 14,55 % = 38,18 % > 25 %

Isso significa que o primeiro quartil está nessa faixa. Como não sabemos exatamente o valor de cada altura, temos que dar um jeito de estimar o quartil. Uma forma é simplesmente pegar o ponto médio do intervalo. Vou adotar ela por ser a mais simples:

Q 1 = 1,63 + 1,69 2 = 1,66

Seguimos somando a porcentagem de cada faixa:

38,18 % + 30,91 % = 69,09 % > 50 %

Como passamos de 50 % , isso significa que o segundo quartil (mediana) está nessa faixa:

Q 2 = 1,69 + 1,75 2 = 1,72

Continuando, somamos a próxima faixa:

69,09 % + 16,36 % = 85,45 % > 75 %

Isso significa que o terceiro quartil está nessa faixa:

Q 3 = 1,75 + 1,81 2 = 1,78

Passo 4

Só falta achar os limites inferior e superior, que são definidos por

l i m i t e   i n f e r i o r = max ⁡ min ⁡ d a d o s ,   Q 1 - 1,5 Q 3 - Q 1

l i m i t e   s u p e r i o r = min ⁡ { max ⁡ d a d o s ,   Q 3 + 1,5 Q 3 - Q 1 }

Desta forma, para obter esses limites temos que calcular primeiro

Q 1 - 1,5 Q 3 - Q 1 = 1,66 - 1,5 ⋅ 0,06 = 1,57

Q 3 + 1,5 Q 3 - Q 1 = 1,78 + 1,5 ⋅ 0,06 = 1,87

Olha para a tabela, o mínimo dos dados é um número menor ou igual a 1,57 . Portanto, o máximo entre esse mínimo e 1,57 será 1,57 , de modo que

l i m i t e   i n f e r i o r = 1,57

Já o máximo dos dados é um número maior que 1,87 , de modo que o mínimo entre esse máximo e 1,87 é 1,87 . Portanto,

l i m i t e   s u p e r i o r = 1,87

Com todos esses dados nós já podemos montar o Boxplot:

O pontinho preto representa a média (dada na tabela de análise descritiva) que é 1,715 < Q 2 . Como ela é menor que a mediana, representei ela abaixo. Note também que a distribuição é bem simétrica, já que a distância entre os quartis é simétrica.

Na tabela de análise descritiva também foram fornecidos os valores máximo e mínimos da amostra:

m a x i m o = 1,93

m i n i m o = 1,53

Notar que o máximo é maior que o limite superior e o mínimo é menor que o limite inferior. Esses pontos são valores discrepantes da amostra, pois se encontram fora das barras do Boxplot.

Resposta

Esboço de gráfico.

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