Exercícios Resolvidos de Box Plot

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Enunciado

Os quadros abaixo correspondem as alturas dos alunos matriculados na disciplina PROBEST-2012-2. Construa o boxplot determinando se há valores discrepantes no conjunto de dados apresentados. Detalhe todos os cálculos e esboce o gráfico com seus respectivos valores conforme a aula-1.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Partiu mais uma questão de probabilidade?

Nesse problema vamos ter que montar o Boxplot do conjunto de dados fornecido para gente. Para isso, vamos lembrar um pouco o que é isso:

Num boxplot, devemos informar os três quartis de uma distribuição e seus limites inferior e superior. Vou explicar com bastante calma como obter essas coisas nos próximos passos!

Passo 2

Os quartis são valores que dividem a distribuição em quatro partes iguais. Por exemplo, vamos considerar a seguinte distribuição em ordem crescente:

1 ,   2 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   10 ,   10 ,   12 ,   15 ,   17

Podemos dividir essa amostra de 12 números em quatro partes com 3 números cada uma:

p a r t e   1 :       1 ,   2 ,   2

p a r t e   2 :       4 ,   6 ,   8

p a r t e   3 :       10 ,   10 ,   1 0

p a r t e   4 :         12 ,   15 ,   1 7

O primeiro quartil é um número que separa a parte 1 da parte 2. Nesse caso podemos tomar Q 1 = 3 . O segundo quartil é um número que divide a amostra no meio (é exatamente a mediana), nesse caso Q 2 = 9 . Já o terceiro quartil divide a parte 3 da 4: Q 3 = 11 .

Agora vamos ao nosso problema! Para achar os quartis precisamos olhar para a tabela de frequência. Para qual intervalo a porcentagem acumulada é 25 % ?

Isso ocorre no intervalo 1,57 - 1,63 . Isso significa que para algum dos 24 valores nesse intervalo atingimos a fronteira dos 25 % . Esse valor será o primeiro quartil. Mas temos um problema: não conhecemos cada um desses valores, de modo que não podemos achar com certeza quem é o primeiro quartil. Por isso, vamos fazer uma estimativa (e aqui não existe resposta única)!

O maior valor nesse intervalo (que deve estar bem próximo de 1,63 ) corresponde a 25,81 % da porcentagem acumulada. Isso significa que o primeiro quartil deve estar bem mais próximo de 1,63 % do que de 1,57 . Portanto, vou chutar algo próximo de 1,62 :

Q 1 = 1,62

Para o segundo quartil temos que olhar para o intervalo em que a porcentagem acumulada ultrapassa os 50 % :

Vemos que ele deve estar entre 1,69 e 1,75 . Além disso, ele deve estar mais próximo de 1,69 do que de 1,75 . Vou chutar algo perto de 1,71 :

Q 2 = 1,71

Para o terceiro quartil, olhamos para o intervalo em que passamos dos 75 % :

Vemos que ele está no intervalo 1,75 - 1,81 . Ele deve estar mais próximo de 1,75 do que de 1,81 , porém bem próximo do meio do intervalo também. Com isso, vou chutar algo perto de 1,78 :

Q 3 = 1,78

Com isso nós já temos os três quartis:

Q 1 = 1,62

Q 2 = 1,71

Q 3 = 1,78

Passo 3

O próximo passo é encontrar os limites inferior e superior. Aí você precisa lembrar que eles são definidos por

l i m i t e   i n f e r i o r = max ⁡ min ⁡ d a d o s ,     Q 1 - 1,5 Q 3 - Q 1

l i m i t e   s u p e r i o r = min ⁡ { max ⁡ d a d o s ,     Q 1 + 1,5 Q 3 - Q 1 }

Vamos olhar primeiro para o limite inferior:

Q 1 - 1,5 Q 3 - Q 1 = 1,62 - 1,5 ⋅ 0,16 = 1,38

Na primeira tabela, foi dado que o mínimo dos dados é 1,42 :

l i m i t e   i n f e r i o r = max ⁡ { 1,42 , ;   1,38 } = 1,38

Para o limite superior, temos que...

Q 1 + 1,5 Q 3 - Q 1 = 1,71 + 1,5 ⋅ 0,16 = 1,95

O valor máximo dos dados (primeira tabela) é 2,10 :

l i m i t e   s u p e r i o r = min ⁡ 2,10 ; 1,95 = 1,95

Com isso podemos fazer nosso boxplot!

Passo 4

O último passo é verificar se existem valores discrepantes. Esses são valores que estariam fora dos limites inferior e superior, ou seja, valores tais que...

x > 1,95           o u           x < 38

Vimos que o valor máximo da distribuição é 2,10 e o mínimo é 1,42 . É evidente que esses valores estão foram dessa região! Portanto, esse conjunto de dados apresenta sim valores discrepantes!

Resposta

E s b o ç o   d e   g r á f i c o .

O   v a l o r   m á x i m o   d a   d i s t r i b u i ç ã o   é   2,10   e   o  

m í n i m o   é   1,42 ; l o g o   h á   v a l o r e s   d i s c r e p a n t e s .

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