Exercícios Resolvidos de Capacitância Equivalente

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Enunciado

Um capacitor é formado por duas placas condutoras planas e paralelas de área A cada uma, separadas por uma distância d muito menor que as suas dimensões. Um material isolante de constante dielétrica K é inserido no capacitor de forma a ocupar metade do volume entre as placas, como mostrado na figura abaixo, ficando completamente em contato com uma delas, enquanto a outra metade permanece no vácuo. A seguir, uma diferença de potencial V é aplicada entre as placas. Em termos de ϵ 0 ,   A ,   V ,   K e d , determine para esse sistema:

  1. A capacitância C do sistema.
  2. Os módulos do campo elétrico na metade vazia ( E v ) e na metade com dielétrico ( E d ).

Passo 1

  1. No caso particular desta questão, podemos analisar sua capacitância C como se fosse resultado de uma associação em série de dois capacitores, um com capacitância C I , com vácuo entre suas placas, e outro com capacitância C I I , no qual há um dielétrico com constante dielétrica K > 1 , como indicado na figura abaixo.

Portanto, essa capacitância resultante C neste caso é

1 C = 1 C I + 1 C I I ⇒ C = C I C I I C I + C I I

Como o capacitor I está no vácuo (espaço vazio entre suas placas), sua capacitância é dada por

C I = ε 0 A d / 2 = 2 ε 0 A d

O capacitor I I , por sua vez, possui um dielétrico com constante dielétrica K > 1 e tem capacitância dada por

C I I = K ε 0 A d / 2 = 2 K ε 0 A d

Substituindo essas expressões em C , temos

C = 4 K ε 0 2 A 2 d 2 2 K + 1 ε 0 A d ⇒ C = 2 K K + 1 ε 0 A d

Passo 2

b) Para calcularmos como é o campo em cada região, precisamos da carga total Q armazenada no capacitor C . Neste caso, a carga total é

Q = C V = 2 K ε 0 V K + 1 d A ⇒ σ = Q A = 2 K ε 0 V K + 1 d

Na região I do capacitor, “que tem o vácuo” (região vazia entre as placas), o campo elétrico E v , após substituir a densidade de carga σ acima, é

E v = Q ε 0 A = σ ε 0 ⇒ E v = 2 K V K + 1 d

Na região I I do capacitor, o campo elétrico E d é menor que E v por um fator 1 / K , isto é,

E d = E v K

o que resulta em

E d = 2 V K + 1 d

Resposta

a) C = 2 K K + 1 ε 0 A d

b) E v = 2 K K + 1 V d ; E d = E v K = 2 K + 1 V d

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