Exercícios Resolvidos de Capacitância Equivalente

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Enunciado

Um capacitor de placas paralelas e área A , possui o espaço entre as placas preenchido por materiais dielétricos de diferentes constantes dielétricas ( κ 1 e κ 2 ), arranjados em diferentes espessuras ( d 1 e d 2 , respectivamente), como mostra a figura.

a ) Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A e distância entre placas, onde há vácuo, igual a d . Dado: o campo elétrico entre as placas do capacitor é E 0   = σ / ϵ 0 .

b ) Calcule a capacitância do capacitor da figura.

c ) A placa superior do capacitor está a um potencial V   > 0 em relação à placa inferior. Determine a densidade de cargas livres na placa superior deste capacitor, e a densidade de cargas ligadas (ou induzidas) na face do dielétrico em contato com esta placa.

Passo 1

a ) Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A e distância entre placas, onde há vácuo, igual a d . Dado: o campo elétrico entre as placas do capacitor é E 0   = σ / ϵ 0 .

A relação entre a capacitância e o potencial é dada por:

V = Q C → C = Q V

O potencial entre as placas do capacitor é dado por:

V = E d

Substituindo na expressão da capacitância:

C = Q E d

O próprio problema já nos disse para considerar E 0   = σ / ϵ 0 , em que σ é a densidade superficial de carga, dada por σ = Q / A , onde A é a área da placa do capacitor.

Voltando ao problema:

E = σ ϵ 0 = Q A ϵ 0

C = Q Q d A ϵ 0

Finalmente:

C = ϵ 0 A d

Essa é uma fórmula que é importante você já ter na cabeça, mas é muito importante também você lembrar como se chega nela.

Passo 2

b ) Calcule a capacitância do capacitor da figura.

Eu sei que a figura pode parecer meio bizarra, mas vamos tentar imaginar o seguinte: imagina que vem uma corrente de cima para baixo... teoricamente, ela passaria primeiro pelo dielétrico κ 1 e, posteriormente, pelo dielétrico κ 2 . Assim, podemos imaginar então que esses dois dielétricos estão, na verdade, em série.

E a capacitância do capacitor será a capacitância equivalente para esses dois capacitores em série. Quando os capacitores estão em série, a capacitância equivalente é dada por:

1 C e q = 1 C 1 + 1 C 2

C e q = C 1 C 2 C 1 + C 2

A capacitância de um capacitor com o dielétrico é dado por:

C = κ C 0 = κ ϵ 0 A d

Logo:

C e q = κ 1 ϵ 0 A d 1   κ 2 ϵ 0 A d 2 κ 1 ϵ 0 A d 1 + κ 2 ϵ 0 A d 2

Agora é só arrumar esse cara:

C e q = ϵ 0 A κ 1 κ 2 ϵ 0 A d 1 d 2 ϵ 0 A κ 1 d 1 + κ 2 d 2

C e q = κ 1 κ 2 ϵ 0 A d 1 d 2 κ 1 d 1 + κ 2 d 2 = ϵ 0 A d 1 d 2 κ 1 κ 2 κ 1 d 1 + κ 2 d 2

C e q = ϵ 0 A d 1 κ 1 + d 2 κ 2

Passo 3

c ) A placa superior do capacitor está a um potencial V   > 0 em relação à placa inferior. Determine a densidade de cargas livres na placa superior deste capacitor, e a densidade de cargas ligadas (ou induzidas) na face do dielétrico em contato com esta placa.

Para a densidade de cargas livres, podemos simplesmente usar a relação Q = C e q V .

σ = Q A = C e q V A = V A   ϵ 0 A d 1 κ 1 + d 2 κ 2  

σ = ϵ 0 V d 1 κ 1 + d 2 κ 2

Passo 4

Ok, agora precisamos calcular a densidade de cargas induzidas na placa superior, que está em contato com o dielétrico κ 1 .

Definindo que para cima será positivo, o campo elétrico no dielétrico 1 é dado por:

E 1 = - E 0 κ 1 = - σ κ 1 ϵ 0

Essa variação do campo elétrico acontece porque, com o dielétrico temos dois campo existentes na região... o campo original E 0 e o campo induzido E i , que está na direção oposta, logo:

E 1 = - E 0 + E i = - σ ϵ 0 + σ i ϵ 0

- σ κ 1 ϵ 0 = - σ ϵ 0 + σ i ϵ 0

Agora é só isolar σ i .

σ i = ϵ 0 σ ϵ 0 - σ κ 1 ϵ 0

σ i = σ 1 - 1 κ 1

σ i = σ κ 1 - 1 κ 1

Resposta

a )

C = ϵ 0 A d

b )

C e q = ϵ 0 A d 1 κ 1 + d 2 κ 2

c )

σ i = σ κ 1 - 1 κ 1

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