Exercícios Resolvidos de Capacitância Equivalente

USP-P1-2015- Questão 4

Três placas condutoras de área A são espaçadas de d por vácuo (região 1 ) e de d por um material de constante dielétrica κ (região 3 ), como indicado na figura. A carga total na placa superior é igual a Q > 0 , na placa do meio é igual a zero e na placa inferior é igual a - Q . Desconsidere a não uniformidade do campo elétrico perto das bordas.

a ) Indique numa figura e calcule as densidades de carga nas superfícies das placas condutoras. Calcule o vetor campo elétrico E → nas regiões 1 ,   2 e 3 . Expresse suas respostas em termos de ϵ 0 ,   Q ,   A   e   κ .

b ) Calcule a capacitância do sistema de três placas.

c ) Calcule a densidade de carga de polarização no dielétrico.

Passo 1

a ) Indique numa figura e calcule as densidades de carga nas superfícies das placas condutoras. Calcule o vetor campo elétrico E → nas regiões 1 ,   2 e 3 . Expresse suas respostas em termos de ϵ 0 ,   Q ,   A   e   κ .

A densidade de carga na placa superior será:

σ + = Q A

Na placa inferior, que possui carga - Q , a densidade de carga será:

σ - = - Q A

Como as placas são condutoras, para que a placa do meio possua carga neutra, por causa da indução das cargas nas placas superior e inferior, haverá um acúmulo de carga negativa na superfície superior da placa do meio e um acúmulo de cargas positivas na superfície inferior da placa do meio.

Assim, a superfície superior da placa do meio terá densidade de carga σ - e a superfície inferior da placa do meio terá densidade de carga σ + .

No final das contas, o capacitor vai ter essa cara:

Como o problema pediu apenas a densidade de carga nas placas, não levamos em consideração a densidade de cargas induzidas que aparecerão no material dielétrico.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que determinar o campo elétrico em cada uma das regiões.

  • Região 1
  • O campo elétrico resultante está na direção vertical. Como há o acúmulo de cargas positivas na placa superior e negativas na superfície superior da placa do meio, o campo elétrico tem sentido de cima para baixo, logo:

    E → 1 = - σ 2 ϵ 0 k ^ - σ 2 ϵ 0 k ^

    E → 1 = - Q ϵ 0 A   k ^

  • Região 2
  • Essa região corresponde ao interior do condutor, e aqui vai algo pra você guardar pra você no coração: O campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.

    Logo:

    E → 2 = 0 →

  • Região 3

A única diferença desta para a região 1 é que, agora com o dielétrico, haverá uma variação do campo elétrico, que passará a ser dado por:

E → 3 = - Q ϵ A   k ^

E → 3 = - Q κ ϵ 0 A   k ^

Essa mudança ocorre pois, em uma material dielétrico ϵ = κ ϵ 0 .

Passo 3

b ) Calcule a capacitância do sistema de três placas.

Eu sei que pode parecer bizarro olhando assim, mas nós podemos dar uma simplificada nisso.

Ao invés de olhar para o capacitor como um sistema de três placas, podemos olhar pra isso como dois capacitores em série... o primeiro sem dielétrico e o segundo com o dielétrico.

Assim, a capacitância do sistema pode ser dada por:

1 C = 1 C 1 + 1 C 2

C = C 1 C 2 C 1 + C 2

Vamos chamar de C 1 a capacitância da parte sem o dielétrico. Como se tratam de placas planas e paralelas, C 1 dada por:

C 1 = ϵ 0 A d

E de C 2 a capacitância da parte com o dielétrico:

C 2 = ϵ A d = κ ϵ 0 A d

Substituindo na fórmula da capacitância:

C = ϵ 0 A d   κ ϵ 0 A d ϵ 0 A d + κ ϵ 0 A d = ϵ 0 A d κ ϵ 0 A d ϵ 0 A d 1 + κ

C = ϵ 0 A d κ 1 + κ

Passo 4

c ) Calcule a densidade de carga de polarização no dielétrico.

O que ele tá chamando de carga de polarização aqui é o que nós chamamos de carga induzida lá no Passo 1.

No passo 2, escrevemos o campo elétrico na região 3 como:

E 3 = Q κ ϵ 0 A = σ κ ϵ 0

Esse campo elétrico será a diferença entre o campo elétrico gerado pela densidade de carga σ (que estará de cima para baixo) e a densidade de carga σ i n d (que está de baixo para cima). Logo:

E 3 = σ ϵ 0 - σ i ϵ 0

Igualando as duas equações:

σ κ ϵ 0 = σ ϵ 0 - σ i ϵ 0

Todo mundo aqui está sendo dividido por ϵ 0 , então podemos simplificar isso aqui:

σ κ = σ - σ i

Agora é só organizar isso:

σ i = σ 1 - 1 κ

σ i = σ κ - 1 κ

σ i = Q A κ - 1 κ

Resposta

a )

E → 1 = - Q ϵ 0 A   k ^

E → 2 = 0 →

E → 3 = - Q κ ϵ 0 A   k ^

b )

C = ϵ 0 A d κ 1 + κ

c )

σ i = Q A κ - 1 κ

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