Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 552-1. (modificado)

Encontre a massa de um arame que tem a forma da interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e do plano x + z = 0 , se a densidade do arame em x , y , z for x 2 + y 2 .

Passo 1

Ele esta pedindo a massa, então o que nós devemos cálcular é algo no tipo, vê se você concorda:

C δ x , y , z d s

No enunciado ele já dá a densidade δ x , y , z = x 2 + y 2 , então só fica faltando parametrizar a curva e encontrar o d s . Então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiramente, nós vemos que o plano pode ser escrito como z =   -   x , certo?

Então, jogando na equação da esfera, temos que a projeção no plano x y fica:

x 2 + y 2 + - x 2 = 1 x 2 + y 2 + x 2 = 1

2 x 2 + y 2 = 1

Que é uma elipse que pode ser parametrizada por:

σ t = cos t 2 , sen t ,       0 t 2 π

Mas essa é só a projeção e não podemos esquecer a coordenada z da curva:

z = - x z = - cos t 2

Então, finalmente:

σ t = cos t 2 , sen t ,   - cos t 2 ,       0 t 2 π

Passo 3

Agora podemos calcular as derivadas da parametrização:

d x d t = - sen t 2 ,       d y d t = cos t ,       d z d t = sen t 2

Assim:

σ ' t = sen 2 t 2 + cos 2 t + sen 2 t 2 = 1

Opa! Isso é legal, parece que não vamos ter que calcular nenhuma integral muito complicada. Vamos ver como que vai ficar!

Passo 4

A nossa função em termos de t será:

x 2 + y 2 cos t 2 2 + sen t 2

Vamos jogar tudo que achamos naquela fórmula da integral:

0 2 π cos t 2 2 + sen t 2   d t

  0 2 π cos 2 t 2   d t + 0 2 π sen 2 t d t

Passo 5

Agora temos que resolver esses monstrinhos!

Lembrando que:

cos 2 t = 1 + cos 2 t 2       e     sen 2 t = 1 - cos 2 t 2

Então:

0 2 π cos 2 t 2   d t + 0 2 π sen 2 t d t = 1 4 0 2 π 1 + cos 2 t d t + 1 2 0 2 π 1 - cos 2 t d t

1 4 t + sen 2 t 2 0 2 π + 1 2 t - sen 2 t 2 0 2 π

= π 2 + π = 3 π 2

Resposta

3 π 2

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